विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.6 संख्या बीजगणित विषय-वस्तु: बीजीय विधि से संख्या संबंधी प्रश्न
संख्या बीजगणित में संख्याओं से संबंधित प्रश्नों को अज्ञात संख्या को x, y आदि चर मानकर समीकरणों के माध्यम से हल किया जाता है। यह विधि रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में अत्यंत उपयोगी है क्योंकि संख्या संबंधी प्रश्न जैसे दो संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल, भागफल, क्रमागत संख्याएँ तथा दो अंकों वाली संख्याओं के अंकों के पलटने के प्रश्न बार-बार पूछे जाते हैं। इन सभी प्रश्नों का आधार सरल रैखिक समीकरण ही है।
संख्या संबंधी प्रश्नों में सबसे पहले अज्ञात संख्या को चर माना जाता है। फिर प्रश्न में दी गई शर्तों, जैसे किसी संख्या का आधा, दुगुना, तीन गुना, उसमें जोड़ने-घटाने पर प्राप्त मान, को समीकरण के रूप में लिखा जाता है। समीकरण को हल करके अज्ञात संख्या ज्ञात की जाती है। दो संख्याओं के प्रश्नों में एक संख्या को x और दूसरी को y मानकर दो समीकरण बनाए जाते हैं, जिन्हें विलोपन या प्रतिस्थापन विधि से हल किया जाता है।
क्रमागत संख्याओं (Consecutive Numbers) के प्रश्नों में संख्याओं को x, x+1, x+2 के रूप में लिखा जाता है। क्रमागत सम संख्याओं को 2x, 2x+2 और क्रमागत विषम संख्याओं को 2x+1, 2x+3 माना जाता है। दो अंकों वाली संख्या के प्रश्नों में दहाई के अंक को x और इकाई के अंक को y मानकर संख्या को 10x + y लिखा जाता है; अंकों को पलटने पर संख्या 10y + x हो जाती है।
एक संख्या संबंधी प्रश्नों में केवल एक अज्ञात राशि होती है, जिसे x मानकर एक सरल समीकरण बनाया जाता है। इनमें वाक्यों को गणितीय रूप में बदलने की कला महत्वपूर्ण है। कुछ सामान्य अनुवाद: किसी संख्या का आधा = x/2, संख्या का दुगुना = 2x, संख्या का 25 प्रतिशत = x/4, किसी संख्या में 5 जोड़ना = x + 5, किसी संख्या का वर्ग = x^2।
हल किया गया उदाहरण 1: किसी संख्या में 7 जोड़ने पर 23 प्राप्त होता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
x + 7 = 23x = 16। अतः संख्या = 16।हल किया गया उदाहरण 2: किसी संख्या का तीन गुना 9 घटाने पर 24 मिलता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
3x - 9 = 243x = 33, अतः x = 11।हल किया गया उदाहरण 3: किसी संख्या का आधा भाग 15 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
x/2 = 15, अतः x = 30।हल किया गया उदाहरण 4: किसी संख्या के वर्ग में से 4 घटाने पर 21 मिलता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
x^2 - 4 = 21, अतः x^2 = 25, x = 5 (धनात्मक)।हल किया गया उदाहरण 5: किसी संख्या का 25 प्रतिशत 8 है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
x/4 = 8, अतः x = 32।दो संख्याओं के प्रश्नों में योग, अंतर या गुणनफल दिया होता है। इन्हें हल करने के लिए दो समीकरण बनाए जाते हैं। एक सामान्य सूत्र उपयोगी है: यदि दो संख्याओं का योग S और अंतर D हो तो बड़ी संख्या = (S + D)/2 तथा छोटी संख्या = (S - D)/2 होती है।
हल किया गया उदाहरण 6: दो संख्याओं का योग 45 तथा उनका अंतर 15 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
(45 + 15)/2 = 30, छोटी संख्या = (45 - 15)/2 = 15।हल किया गया उदाहरण 7: दो संख्याओं का गुणनफल 72 तथा उनका अंतर 6 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
xy = 72 तथा x - y = 6।x = y + 6 रखने पर (y + 6)y = 72y^2 + 6y - 72 = 0, गुणनखंड करने पर (y + 12)(y - 6) = 0y = 6, अतः x = 12। बड़ी संख्या = 12।हल किया गया उदाहरण 8: दो संख्याओं का योग 60 है तथा एक संख्या दूसरी से 4 अधिक है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
x + x + 4 = 602x = 56, x = 28। संख्याएँ = 28 और 32।हल किया गया उदाहरण 9: दो संख्याओं का योग 50 तथा अनुपात 2 : 3 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
2x + 3x = 505x = 50, x = 10। संख्याएँ = 20 और 30। बड़ी संख्या = 30।क्रमागत संख्याओं के प्रश्नों में संख्याओं को x, x+1, x+2 के रूप में लिया जाता है। क्रमागत सम या विषम संख्याओं में दो का अंतर होता है, अतः उन्हें x, x+2, x+4 माना जाता है। दो अंकों वाली संख्या में दहाई का अंक x तथा इकाई का अंक y मानने पर संख्या 10x + y होती है और अंकों को उलटने पर 10y + x।
हल किया गया उदाहरण 10: तीन क्रमागत संख्याओं का योग 36 है। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
x + x + 1 + x + 2 = 363x + 3 = 36, x = 11। संख्याएँ = 11, 12, 13। सबसे बड़ी = 13।हल किया गया उदाहरण 11: तीन क्रमागत सम संख्याओं का योग 42 है। सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
3x + 6 = 423x = 36, x = 12। सबसे छोटी संख्या = 12।हल किया गया उदाहरण 12: एक दो अंकों वाली संख्या के अंकों का योग 9 है तथा संख्या अपने अंकों के पलटने से बनी संख्या से 27 अधिक है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
x + y = 9 तथा (10x + y) - (10y + x) = 279x - 9y = 27, अतः x - y = 3।x + y = 9 और x - y = 3 जोड़ने पर 2x = 12, x = 6; y = 3।10(6) + 3 = 63।हल किया गया उदाहरण 13: दो अंकों वाली एक संख्या में अंकों का योग 8 है तथा संख्या का मान 35 है। दहाई का अंक ज्ञात कीजिए।
x + y = 8 तथा 10x + y = 35।y = 8 - x रखने पर 10x + 8 - x = 359x = 27, अतः x = 3। दहाई का अंक = 3।हल किया गया उदाहरण 14: तीन क्रमागत विषम संख्याओं का योग 57 है। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
3x + 6 = 573x = 51, x = 17। संख्याएँ = 17, 19, 21। सबसे बड़ी = 21।| कथन | बीजीय रूप |
|---|---|
| किसी संख्या का आधा | x/2 |
| किसी संख्या का दुगुना | 2x |
| किसी संख्या का तीन गुना | 3x |
| संख्या में 5 जोड़ना | x + 5 |
| संख्या से 4 घटाना | x - 4 |
| संख्या का वर्ग | x^2 |
| संख्या का 25 प्रतिशत | x/4 |
| प्रकार | मान्यता | उदाहरण प्रश्न | हल |
|---|---|---|---|
| क्रमागत संख्याएँ | x, x+1, x+2 | योग 36 | 11, 12, 13 |
| क्रमागत सम संख्याएँ | x, x+2, x+4 | योग 42 | 12, 14, 16 |
| दो अंकों वाली संख्या | 10x + y | अंकों का योग 9 | अंक ज्ञात करें |
| योग-अंतर | (S ± D)/2 | योग 45, अंतर 15 | 30, 15 |
| अनुपात | 2x : 3x | योग 50 | 20, 30 |
flowchart TD
A[3.6 संख्या बीजगणित] --> B[एक संख्या]
A --> C[दो संख्याएँ]
A --> D[क्रमागत संख्याएँ]
A --> E[दो अंकों वाली संख्या]
B --> B1[चर मानकर समीकरण]
B --> B2[x + 7 = 23 जैसे]
C --> C1[योग S और अंतर D]
C --> C2[(S + D)/2 बड़ी संख्या]
D --> D1[x, x+1, x+2]
D --> D2[सम विषम में x, x+2]
E --> E1[संख्या = 10x + y]
E --> E2[पलटने पर 10y + x]
E --> E3[अंकों का योग x + y]
संख्या बीजगणित बीजीय विधि से संख्या संबंधी प्रश्नों को हल करने की वह विधा है जो परीक्षा में नियमित रूप से अंक दिलाती है। एक संख्या, दो संख्याएँ, क्रमागत संख्याएँ तथा दो अंकों वाली संख्याओं के प्रश्न सभी सरल समीकरणों पर आधारित हैं। कथनों को समीकरणों में बदलने की कला तथा योग-अंतर, अनुपात और अंकों के सूत्रों का अभ्यास ही इस अध्याय की सफलता है। रेलवे ग्रुप D परीक्षा में इन प्रश्नों को शीघ्र और सटीक हल करने के लिए नियमित अभ्यास आवश्यक है।