2.3 लाभ हानि और बट्टा

विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.3 लाभ हानि और बट्टा विषय-वस्तु: क्रय-विक्रय मूल्य, लाभ हानि प्रतिशत, छूट

1. परिचय

लाभ, हानि और बट्टा रेलवे ग्रुप D परीक्षा का एक अत्यंत महत्वपूर्ण और प्रश्न-बहुल अध्याय है। यह अध्याय दैनिक जीवन में वस्तुओं की खरीद-बिक्री से सीधे जुड़ा है, इसलिए इसके प्रश्न परीक्षा में लगभग प्रत्येक सेशन में अवश्य पूछे जाते हैं। इस अध्याय को समझने के लिए क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य, लाभ, हानि, छूट तथा उपरिव्यय जैसी अवधारणाओं का स्पष्ट ज्ञान आवश्यक है।

इस अध्याय में हम लाभ और हानि की परिभाषाएँ, लाभ-हानि प्रतिशत की गणना, अंकित मूल्य और छूट का संबंध, उत्तरोत्तर छूट, तथा विभिन्न परिस्थितियों में क्रय या विक्रय मूल्य ज्ञात करने की विधियों का अध्ययन करेंगे। रेलवे परीक्षा में इस अध्याय से प्रायः लाभ प्रतिशत ज्ञात करना, क्रय मूल्य ज्ञात करना, अंकित मूल्य पर छूट, दो क्रमिक छूटों का संयुक्त प्रभाव जैसे प्रश्न पूछे जाते हैं।

इस अध्याय की गणनाएँ अक्सर प्रतिशत की अवधारणा पर आधारित होती हैं, इसलिए प्रतिशत का अच्छा ज्ञान होना आवश्यक है। जो अभ्यर्थी प्रतिशत के भिन्न रूपांतरण (जैसे 12.5% = 1/8) कंठस्थ रखते हैं, वे लाभ-हानि के प्रश्नों को बहुत तेजी से हल कर पाते हैं। सूत्रों की सटीक पहचान और विकल्प-जाँच की विधि से इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।

2. लाभ और हानि

मूल अवधारणाएँ: लाभ और हानि की गणना हमेशा क्रय मूल्य (cost price) के आधार पर की जाती है।

• क्रय मूल्य (CP): जिस मूल्य पर वस्तु खरीदी जाती है, उसे क्रय मूल्य कहते हैं।
• विक्रय मूल्य (SP): जिस मूल्य पर वस्तु बेची जाती है, उसे विक्रय मूल्य कहते हैं।
• लाभ (Profit): यदि SP > CP हो, तो लाभ = SP - CP।
• हानि (Loss): यदि CP > SP हो, तो हानि = CP - SP।
• लाभ प्रतिशत = (लाभ / CP) × 100।
• हानि प्रतिशत = (हानि / CP) × 100।
• यदि लाभ प्रतिशत ज्ञात हो तो SP = CP × (100 + लाभ%)/100।
• यदि हानि प्रतिशत ज्ञात हो तो SP = CP × (100 - हानि%)/100।
• यदि लाभ प्रतिशत ज्ञात हो तो CP = SP × 100/(100 + लाभ%)।
• यदि हानि प्रतिशत ज्ञात हो तो CP = SP × 100/(100 - हानि%)।
• जब वस्तु के क्रय पर ढुलाई, मरम्मत आदि का व्यय होता है, तो उसे उपरिव्यय कहते हैं और वह क्रय मूल्य में जुड़ता है।
• यदि दो वस्तुओं में से एक पर लाभ और दूसरी पर समान प्रतिशत हानि हो, तो कुल हानि होती है।

उदाहरण 1: एक दुकानदार ने एक वस्तु 500 रुपये में खरीदी और 620 रुपये में बेच दी। लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

हल: लाभ = 620 - 500 = 120 रुपये। लाभ प्रतिशत = (120/500) × 100 = 24%। अतः लाभ 24% है।

उदाहरण 2: एक वस्तु 840 रुपये में बेचने पर 16% लाभ हुआ। वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: CP = SP × 100/(100 + लाभ%) = 840 × 100/116 = 84000/116 = 724.13 रुपये (लगभग 724 रुपये)। अतः क्रय मूल्य लगभग 724 रुपये है।

उदाहरण 3: एक वस्तु 720 रुपये में बेचने पर 10% की हानि हुई। वस्तु का क्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: CP = SP × 100/(100 - हानि%) = 720 × 100/90 = 800 रुपये। अतः क्रय मूल्य 800 रुपये है।

उदाहरण 4: एक वस्तु को 1350 रुपये में बेचने पर 8% का लाभ होता है। विक्रय मूल्य किस राशि पर रखा जाए कि 20% लाभ हो?

हल: पहले CP ज्ञात करें: CP = 1350 × 100/108 = 1250 रुपये। अब 20% लाभ के लिए SP = 1250 × 120/100 = 1500 रुपये। अतः अभीष्ट विक्रय मूल्य 1500 रुपये है।

3. लाभ-हानि की विशेष परिस्थितियाँ

सामान्य विशेष स्थितियाँ: परीक्षा में लाभ-हानि के प्रश्न कई रूपों में आते हैं जिनकी विधियाँ अलग होती हैं।

• वस्तुओं की संख्या के अनुसार लाभ-हानि: यदि n वस्तुएँ क्रय मूल्य के बराबर राशि में बेची जाती हैं, तो लाभ प्रतिशत = (n - m) × 100 / m सूत्र से निकाला जाता है।
• यदि कोई वस्तु m वस्तुओं के क्रय मूल्य के बराबर में बेची जाए, तो लाभ-हानि की गणना अनुपात विधि से की जाती है।
• दो वस्तुओं को समान मूल्य पर बेचने पर, एक पर x% लाभ तथा दूसरी पर x% हानि हो, तो पूरे लेन-देन पर सदैव (x²/100)% की हानि होती है।
• यदि किसी वस्तु को y% लाभ पर बेचने के स्थान पर y% हानि पर बेचा जाए, तो कुल अंतर = 2 × y% of CP।
• किसी वस्तु को a रुपये में बेचने पर b% हानि होती है, तो c% लाभ कमाने के लिए विक्रय मूल्य = a × (100 + c)/(100 - b)।
• उपरिव्यय जोड़ने के बाद कुल क्रय मूल्य पर ही लाभ-हानि की गणना की जाती है।
• यदि क्रय मूल्य और विक्रय मूल्य दोनों में क्रमशः x% और y% का परिवर्तन हो, तो नया लाभ/हानि प्रतिशत निकाला जाता है।

उदाहरण 5: दो वस्तुओं में से प्रत्येक को 1000 रुपये में बेचा गया। एक पर 25% लाभ और दूसरी पर 25% हानि हुई। पूरे लेन-देन का परिणाम क्या होगा?

हल: कुल हानि = (25²/100)% = 6.25% हानि। कुल क्रय मूल्य = 1000 × 100/125 + 1000 × 100/75 = 800 + 1333.33 = 2133.33 रुपये। कुल विक्रय मूल्य = 2000 रुपये। हानि = 133.33 रुपये, जो कुल क्रय मूल्य का 6.25% है। अतः 133.33 रुपये की हानि होती है।

उदाहरण 6: एक व्यक्ति ने एक वस्तु 1200 रुपये में बेचकर 20% लाभ कमाया। उसने यह वस्तु कितने में खरीदी थी?

हल: CP = 1200 × 100/120 = 1000 रुपये। अतः क्रय मूल्य 1000 रुपये था।

उदाहरण 7: 20 वस्तुएँ 1000 रुपये में खरीदी गईं। प्रत्येक वस्तु कितने में बेची जाए कि 25% लाभ हो?

हल: कुल विक्रय मूल्य = 1000 × 125/100 = 1250 रुपये। प्रति वस्तु विक्रय मूल्य = 1250/20 = 62.5 रुपये। अतः प्रत्येक वस्तु 62.5 रुपये में बेचनी होगी।

4. बट्टा (छूट)

बट्टे की अवधारणा: छूट या बट्टा अंकित मूल्य (marked price) पर दिया जाता है, न कि क्रय या विक्रय मूल्य पर।

• अंकित मूल्य (MP): वस्तु पर अंकित या अंकित की गई कीमत को अंकित मूल्य कहते हैं।
• छूट = अंकित मूल्य - विक्रय मूल्य।
• छूट प्रतिशत = (छूट / अंकित मूल्य) × 100।
• विक्रय मूल्य = अंकित मूल्य × (100 - छूट%)/100।
• अंकित मूल्य = विक्रय मूल्य × 100/(100 - छूट%)।
• यदि अंकित मूल्य पर x% और y% की दो क्रमिक छूटें दी जाएँ, तो संयुक्त छूट = x + y - (xy/100)%।
• एकल समतुल्य छूट सूत्र: क्रमिक छूटों के बाद शेष प्रतिशत = (100 - x)(100 - y)/100।
• यदि दुकानदार को क्रय मूल्य पर ही लाभ कमाना है, तो अंकित मूल्य पर छूट देने के बाद भी लाभ बना रहता है, इसके लिए अंकित मूल्य उचित रखा जाता है।
• कभी-कभी अंकित मूल्य क्रय मूल्य से अधिक रखकर लाभ अर्जित किया जाता है, इसे अंकन प्रतिशत कहते हैं।

उदाहरण 8: एक वस्तु का अंकित मूल्य 800 रुपये है। उस पर 15% की छूट दी जाती है। विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।

हल: विक्रय मूल्य = 800 × (100 - 15)/100 = 800 × 0.85 = 680 रुपये। अतः विक्रय मूल्य 680 रुपये है।

उदाहरण 9: 25% और 20% की दो क्रमिक छूटों की एकल समतुल्य छूट ज्ञात कीजिए।

हल: संयुक्त छूट = 25 + 20 - (25 × 20)/100 = 45 - 5 = 40%। अतः एकल समतुल्य छूट 40% है।

उदाहरण 10: एक दुकानदार किसी वस्तु को 20% लाभ पर अंकित करता है और 10% की छूट देता है। उसका वास्तविक लाभ प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

हल: माना क्रय मूल्य 100 रुपये है। अंकित मूल्य = 100 × 120/100 = 120 रुपये। 10% छूट के बाद विक्रय मूल्य = 120 × 90/100 = 108 रुपये। लाभ = 8 रुपये, अतः लाभ प्रतिशत = 8%।

उदाहरण 11: एक वस्तु 3000 रुपये में बेचने पर दुकानदार को 25% लाभ होता है। छूट देने के लिए उसे कितने रुपये अंकित करना चाहिए जिससे 20% छूट देने के बाद भी 25% लाभ बना रहे?

हल: CP = 3000 × 100/125 = 2400 रुपये। अभीष्ट विक्रय मूल्य = 2400 × 125/100 = 3000 रुपये। यदि 20% छूट के बाद 3000 मिलना है तो अंकित मूल्य = 3000 × 100/80 = 3750 रुपये। अतः अंकित मूल्य 3750 रुपये होना चाहिए।

5. त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ

तालिका 1

स्थिति	सूत्र
लाभ	SP - CP
हानि	CP - SP
लाभ प्रतिशत	(लाभ/CP) × 100
हानि प्रतिशत	(हानि/CP) × 100
लाभ पर SP	CP × (100 + लाभ%)/100
हानि पर SP	CP × (100 - हानि%)/100
लाभ पर CP	SP × 100/(100 + लाभ%)
हानि पर CP	SP × 100/(100 - हानि%)

तालिका 2

स्थिति	सूत्र
छूट	MP - SP
छूट प्रतिशत	(छूट/MP) × 100
छूट के बाद SP	MP × (100 - छूट%)/100
छूट से पहले MP	SP × 100/(100 - छूट%)
क्रमिक छूट x% व y%	x + y - (xy/100)
समान लाभ-हानि x%	(x²/100)% हानि
समान SP वाला लेन-देन	कुल हानि = (x²/100)%

6. माइंड मैप

flowchart TD
    A[2.3 लाभ हानि और बट्टा] --> B[लाभ-हानि]
    A --> C[क्रय-विक्रय मूल्य]
    A --> D[बट्टा]
    B --> B1[लाभ = SP - CP]
    B --> B2[हानि = CP - SP]
    B --> B3[लाभ प्रतिशत]
    C --> C1[SP से CP ज्ञात करना]
    C --> C2[CP से SP ज्ञात करना]
    C --> C3[उपरिव्यय]
    D --> D1[अंकित मूल्य]
    D --> D2[छूट प्रतिशत]
    D --> D3[क्रमिक छूट]

7. महत्वपूर्ण आरेख (SVG)

8. सामान्य गलतियाँ

1. लाभ-हानि प्रतिशत की गणना क्रय मूल्य के स्थान पर विक्रय मूल्य पर कर देना सबसे सामान्य गलती है।
2. बट्टे की गणना विक्रय मूल्य या क्रय मूल्य पर करना, जबकि छूट हमेशा अंकित मूल्य पर दी जाती है।
3. क्रमिक छूटों को जोड़कर एकल छूट मान लेना, जबकि सूत्र x + y - (xy/100) लगाना चाहिए।
4. दो वस्तुओं पर समान प्रतिशत लाभ और हानि को 'कोई लाभ-हानि नहीं' समझ लेना, जबकि हमेशा हानि होती है।
5. SP और CP के सूत्रों में 100 के साथ जोड़/घटाव की दिशा गलत करना, जैसे लाभ होने पर (100 - लाभ) लिखना।
6. उपरिव्यय (ढुलाई, मरम्मत आदि) को क्रय मूल्य में न जोड़कर लाभ-हानि की गणना करना।
7. अंकित मूल्य और विक्रय मूल्य को एक ही मान लेना, जबकि दोनों में अंतर होता है।

9. परीक्षा युक्तियाँ

1. क्रय मूल्य को 100 मानकर प्रश्न हल करें, इससे लाभ/हानि/छूट के प्रश्न आसानी से प्रतिशत में बदल जाते हैं।
2. लाभ-हानि के प्रश्नों में पहले यह तय करें कि आधार क्रय मूल्य है या अंकित मूल्य।
3. क्रमिक छूट के प्रश्नों में संयुक्त छूट सूत्र x + y - (xy/100) रटें, पृथक-पृथक गणना से बचें।
4. दो वस्तुओं पर समान लाभ-हानि वाले प्रश्न में तुरंत (x²/100)% हानि सूत्र लगाएं।
5. 'कितने में बेचा जाए कि निश्चित लाभ हो' वाले प्रश्नों में पहले CP ज्ञात करें, फिर अभीष्ट SP निकालें।
6. विकल्प-जाँच विधि से सत्यापन करें, विशेषकर जब सूत्र में संख्याएँ बड़ी हों।
7. छूट और लाभ एक साथ होने पर CP → MP → SP का क्रम बनाकर हल करें।

10. निष्कर्ष

लाभ, हानि और बट्टा अंकगणित का व्यावहारिक अध्याय है जो रेलवे ग्रुप D परीक्षा में लगभग निश्चित रूप से प्रश्न देता है। क्रय मूल्य, विक्रय मूल्य, अंकित मूल्य और छूट के पारस्परिक संबंधों को समझकर तथा सूत्रों का सटीक उपयोग करके इस अध्याय के सभी प्रश्नों को आसानी से हल किया जा सकता है। नियमित अभ्यास, सामान्य गलतियों से बचाव और परीक्षा में समय प्रबंधन के साथ इस अध्याय से पूर्ण अंक प्राप्त करना संभव है।