विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.4 औसत विषय-वस्तु: औसत, भारित औसत, मिश्रण
औसत अंकगणित की एक महत्वपूर्ण और आसान अवधारणा है जो रेलवे ग्रुप D परीक्षा में नियमित रूप से प्रश्न देती है। दैनिक जीवन में हम अक्सर औसत की बात करते हैं – कक्षा का औसत अंक, टीम की औसत आयु, गाड़ी की औसत गति आदि। गणित में औसत (mean) कुल राशि को उसके तत्वों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। यह अध्याय आधारभूत होते हुए भी परीक्षा में विभिन्न रूपों में प्रश्न देता है।
इस अध्याय में हम औसत की मूल विधि, औसत से योग और संख्या ज्ञात करना, भारित औसत, मिश्रण या मिश्र धातु से संबंधित औसत, तथा औसत गति की गणना का अध्ययन करेंगे। रेलवे परीक्षा में इस अध्याय से प्रायः कुल औसत निकालना, एक तत्व के योग से औसत में परिवर्तन, समूह में नया सदस्य जोड़ने पर औसत में परिवर्तन, मिश्रण के औसत मूल्य जैसे प्रश्न पूछे जाते हैं।
इस अध्याय के प्रश्नों को हल करने के लिए कुल योग = औसत × संख्या सूत्र का सही उपयोग सबसे आवश्यक है। इस एक सूत्र की सहायता से अधिकांश प्रश्न हल हो जाते हैं। भारित औसत और मिश्रण की अवधारणा को समझकर तथा परीक्षा की सामान्य परिस्थितियों (जैसे किसी सदस्य को हटाना/जोड़ना) का अभ्यास करके इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त करना आसान है।
औसत की परिभाषा: किसी समूह की सभी राशियों के योग को उस समूह में उपस्थित राशियों की कुल संख्या से भाग देने पर प्राप्त संख्या को औसत कहते हैं।
उदाहरण 1: 10, 15, 20, 25, 30 का औसत ज्ञात कीजिए।
हल: योग = 10 + 15 + 20 + 25 + 30 = 100, संख्या = 5। औसत = 100/5 = 20। अतः औसत 20 है।
उदाहरण 2: 6 संख्याओं का औसत 12 है। उनका कुल योग ज्ञात कीजिए।
हल: कुल योग = 12 × 6 = 72। अतः योग 72 है।
उदाहरण 3: 1 से 99 तक की सभी विषम संख्याओं का औसत क्या होगा?
हल: विषम संख्याओं का क्रम 1, 3, 5, ..., 99 है। पहली संख्या = 1, अंतिम संख्या = 99, कुल 50 संख्याएँ। औसत = (1 + 99)/2 = 50। अतः औसत 50 है।
उदाहरण 4: एक छात्र ने 5 परीक्षाओं में क्रमशः 65, 70, 75, 80 और 85 अंक प्राप्त किए। औसत अंक क्या होंगे?
हल: योग = 65 + 70 + 75 + 80 + 85 = 375, औसत = 375/5 = 75। अतः औसत 75 अंक है।
भारित औसत की अवधारणा: जब विभिन्न समूहों की अलग-अलग संख्याएँ हों, तो सरल औसत के स्थान पर भारित औसत लिया जाता है। इसमें प्रत्येक समूह के औसत को उसकी संख्या से गुणा कर योग करके कुल संख्या से भाग दिया जाता है।
उदाहरण 5: कक्षा में 30 लड़कों का औसत भार 50 किग्रा है तथा 20 लड़कियों का औसत भार 45 किग्रा है। पूरी कक्षा का औसत भार ज्ञात कीजिए।
हल: कुल भार = (30 × 50) + (20 × 45) = 1500 + 900 = 2400 किग्रा। कुल विद्यार्थी = 50। औसत = 2400/50 = 48 किग्रा। अतः पूरी कक्षा का औसत भार 48 किग्रा है।
उदाहरण 6: पहले 15 विषयों का औसत 10 है तथा बाद के 5 विषयों का औसत 14 है। सभी 20 विषयों का औसत ज्ञात कीजिए।
हल: कुल योग = (15 × 10) + (5 × 14) = 150 + 70 = 220। कुल विषय = 20। औसत = 220/20 = 11। अतः औसत 11 है।
उदाहरण 7: एक क्रिकेट खिलाड़ी की 10 पारियों में औसत 35 रन है। 11वीं पारी में कितने रन बनाए जाएँ कि औसत 37 हो जाए?
हल: 11 पारियों में कुल रन = 37 × 11 = 407। 10 पारियों में कुल रन = 35 × 10 = 350। 11वीं पारी के रन = 407 - 350 = 57। अतः उसे 57 रन बनाने होंगे।
मिश्रण की अवधारणा: जब दो या अधिक मात्राओं को अलग-अलग मूल्यों या गुणों के साथ मिलाया जाता है, तो परिणामी मिश्रण का औसत मूल्य निकाला जाता है। मिश्रण के प्रश्न भारित औसत के ही रूपांतर होते हैं।
उदाहरण 8: किसी व्यक्ति ने 30 किग्रा चाय 40 रुपये प्रति किग्रा और 20 किग्रा चाय 50 रुपये प्रति किग्रा की मिलाई। मिश्रण की प्रति किग्रा कीमत ज्ञात कीजिए।
हल: कुल मूल्य = (30 × 40) + (20 × 50) = 1200 + 1000 = 2200 रुपये। कुल चाय = 50 किग्रा। मिश्रण का मूल्य = 2200/50 = 44 रुपये प्रति किग्रा। अतः मिश्रण की कीमत 44 रुपये प्रति किग्रा है।
उदाहरण 9: एक गाड़ी ने 30 किमी दूरी 20 किमी/घंटा की गति से और अगली 30 किमी दूरी 30 किमी/घंटा की गति से तय की। औसत गति ज्ञात कीजिए।
हल: कुल दूरी = 60 किमी। समय₁ = 30/20 = 1.5 घंटे, समय₂ = 30/30 = 1 घंटा। कुल समय = 2.5 घंटे। औसत गति = 60/2.5 = 24 किमी/घंटा। अतः औसत गति 24 किमी/घंटा है।
उदाहरण 10: एक व्यक्ति ने 60 लीटर दूध खरीदा और उसमें 20 लीटर पानी मिला दिया। यदि दूध की कीमत 50 रुपये प्रति लीटर थी और पानी नि:शुल्क था, तो मिश्रण की प्रति लीटर कीमत ज्ञात कीजिए।
हल: कुल मिश्रण = 80 लीटर, कुल मूल्य = 60 × 50 = 3000 रुपये। प्रति लीटर कीमत = 3000/80 = 37.5 रुपये। अतः मिश्रण की कीमत 37.5 रुपये प्रति लीटर है।
| अवधारणा | सूत्र |
|---|---|
| सरल औसत | योग / संख्या |
| कुल योग | औसत × संख्या |
| कुल संख्या | योग / औसत |
| भारित औसत | (a₁x₁ + a₂x₂)/(x₁ + x₂) |
| मिश्रण का मूल्य | (m₁p₁ + m₂p₂)/(m₁ + m₂) |
| औसत गति | कुल दूरी / कुल समय |
| समान दूरी, दो गतियाँ | 2v₁v₂/(v₁ + v₂) |
| क्रमागत संख्याएँ | औसत |
|---|---|
| 1 से n तक प्राकृतिक | (n + 1)/2 |
| प्रथम n विषम संख्याएँ | n |
| प्रथम n सम संख्याएँ | (n + 1) |
| n तक क्रमागत संख्याएँ | (पहली + अंतिम)/2 |
| क्रमागत विषम (पहली a, अंतिम b) | (a + b)/2 |
| क्रमागत सम (पहली a, अंतिम b) | (a + b)/2 |
flowchart TD
A[2.4 औसत] --> B[मूल औसत]
A --> C[भारित औसत]
A --> D[मिश्रण और गति]
B --> B1[औसत = योग/संख्या]
B --> B2[कुल योग = औसत × संख्या]
B --> B3[क्रमागत संख्याएँ]
C --> C1[अलग-अलग समूह]
C --> C2[समूह जोड़ना-हटाना]
D --> D1[मिश्रण मूल्य]
D --> D2[औसत गति]
D --> D3[समान दूरी वाली गति]
औसत अंकगणित का सरलतम अध्याय है जिसमें सूत्रों का न्यूनतम प्रयोग और तार्किक समझ अधिक काम आती है। रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में इस अध्याय से पूछे जाने वाले प्रश्नों को भारित औसत, मिश्रण और औसत गति की अवधारणाओं के साथ नियमित अभ्यास द्वारा न्यूनतम समय में हल किया जा सकता है। यह अध्याय न केवल सीधे अंक दिलाता है, बल्कि अन्य अध्यायों के प्रश्नों में भी सहायक सिद्ध होता है।