विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (संख्या पद्धति) अध्याय: 1.8 संख्या आधारित प्रश्न विषय-वस्तु: अंक/इकाई अंक, विभाज्यता, संख्या रहस्य
संख्या आधारित प्रश्नों में संख्याओं के अंकों, इकाई अंकों, विभाज्यता तथा संख्याओं के बीच छिपे संबंधों से संबंधित प्रश्न पूछे जाते हैं। ये प्रश्न रेलवे ग्रुप D परीक्षा में नियमित रूप से आते हैं, क्योंकि इन्हें बिना लंबी गणना के सरल तकनीकों से हल किया जा सकता है। इकाई अंक ज्ञात करने की चक्रीयता (cyclicity) विधि तथा विभाज्यता के नियम इस अध्याय के प्रमुख अस्त्र हैं।
इकाई अंक के प्रश्नों में बड़ी-बड़ी घातों की गणना करने की आवश्यकता नहीं होती; केवल अंतिम अंक की चक्रीयता देखकर उत्तर प्राप्त होता है। इसी प्रकार विभाज्यता के नियम संख्याओं को वास्तव में भाग दिए बिना यह बताते हैं कि संख्या किस संख्या से विभाज्य है। ये दोनों तकनीकें समय की बचत में अत्यंत सहायक हैं।
इस अध्याय में हम इकाई अंक की चक्रीयता, 2 से 11 तक के विभाज्यता नियम, संख्या रहस्य (अंकों का योग, उलटी संख्या, क्रमागत संख्याएँ) तथा रेलवे परीक्षा स्तर के हल सहित प्रश्नों का अध्ययन करेंगे। इन तकनीकों से बड़ी संख्याओं के प्रश्न भी सेकंडों में हल हो जाते हैं।
किसी संख्या की घात के इकाई अंक की पुनरावृत्ति एक निश्चित चक्र में होती है, जिसे चक्रीयता (Cyclicity) कहते हैं। अधिकांश अंकों की चक्रीयता अवधि 4 होती है, अर्थात हर चौथी घात पर इकाई अंक दोहराया जाता है।
इकाई अंक ज्ञात करने की विधि: घात (exponent) को चक्र की अवधि से भाग दें। यदि शेष r हो तो चक्र का rवाँ अंक इकाई अंक होगा; शेष 0 होने पर चक्र का अंतिम अंक लें। जैसे 7³⁵ के लिए 35 ÷ 4 का शेष 3, चक्र (7, 9, 3, 1) का तीसरा अंक 3, अतः इकाई अंक 3।
हल सहित उदाहरण: 1. 2⁵⁰ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। हल: चक्र (2, 4, 8, 6); 50 ÷ 4 शेष 2, दूसरा अंक 4। 2. 3²¹ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। हल: चक्र (3, 9, 7, 1); 21 ÷ 4 शेष 1, पहला अंक 3। 3. 7⁴⁰ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। हल: 40 ÷ 4 शेष 0, अंतिम अंक 1। 4. 6²⁰²⁴ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। हल: 6 की सभी घातों का इकाई अंक 6 होता है। 5. 8¹⁹ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। हल: चक्र (8, 4, 2, 6); 19 ÷ 4 शेष 3, तीसरा अंक 2।
विभाज्यता के नियम संख्याओं को भाग किए बिना यह बताते हैं कि संख्या किस भाजक से पूर्णतः विभाज्य है। रेलवे परीक्षा में 2 से 11 तक के नियम प्रायः पूछे जाते हैं।
11: विषम स्थानों के अंकों का योग तथा सम स्थानों के अंकों का योग का अंतर 0 या 11 का गुणज हो।
6 से विभाज्यता के लिए दोनों नियम (2 और 3) एक साथ सत्य होने चाहिए।
हल सहित उदाहरण: 1. 315 किससे विभाज्य है? हल: अंकों का योग 3 + 1 + 5 = 9, अतः 3 और 9 से; अंतिम अंक 5 से विभाज्य; अतः 5 से भी विभाज्य है। 2. क्या 2024, 8 से विभाज्य है? हल: अंतिम तीन अंक 024 = 24, 24 ÷ 8 = 3, अतः हाँ। 3. 132 क्या 11 से विभाज्य है? हल: (1 + 2) − 3 = 0, अतः हाँ। 4. 4 से विभाज्यता के लिए 436 की जाँच कीजिए। हल: अंतिम दो अंक 36, 36 ÷ 4 = 9, अतः हाँ। 5. वह अंक ज्ञात कीजिए जो 572 को 3 से विभाज्य बनाने के लिए स्थान * पर रखा जाए, 5*2? हल: 5 + * + 2 = 7 + * को 3 से विभाज्य बनाना है, * = 2, 5, 8 संभव हैं; न्यूनतम 2।
संख्या रहस्य में दो अंकों की संख्या के अंकों का योग/गुणनफल, अंकों को उलटने पर प्राप्त संख्या, क्रमागत संख्याओं के गुण तथा अंकों के संबंधों पर आधारित प्रश्न आते हैं। इनमें संख्या को दशक इकाई रूप में लिखना मुख्य तकनीक है।
हल सहित उदाहरण: 1. दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 तथा संख्या अपने अंकों के उलट से 27 अधिक है, संख्या ज्ञात कीजिए। हल: माना संख्या 10a + b; a + b = 9 और 10a + b − (10b + a) = 27 ⇒ 9(a − b) = 27 ⇒ a − b = 3; हल करने पर a = 6, b = 3, संख्या 63। 2. दो अंकों की संख्या और उसकी उलटी संख्या का योग 121 तथा अंकों का योग 11 है, संख्या ज्ञात कीजिए। हल: योग 11(a + b) = 121 ⇒ a + b = 11; अंक 5 और 6; संभावित संख्या 56 या 65। 3. किसी संख्या के अंकों का योग 12 और उलटने पर संख्या 18 कम हो जाती है, संख्या ज्ञात कीजिए। हल: a + b = 12; 9(a − b) = 18 ⇒ a − b = 2; a = 7, b = 5; संख्या 75। 4. तीन क्रमागत संख्याओं का योग 45 है, मध्य संख्या ज्ञात कीजिए। हल: मध्य संख्या = 45/3 = 15। 5. दो अंकों की संख्या में दहाई का अंक इकाई के अंक से 2 अधिक है तथा अंकों का गुणनफल 8 है, संख्या ज्ञात कीजिए। हल: a − b = 2, a × b = 8; हल करने पर a = 4, b = 2; संख्या 42।
इकाई अंक की चक्रीयता | अंक | चक्र | अवधि | | --- | --- | --- | | 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 | | 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 | | 4 | 4, 6 | 2 | | 7 | 7, 9, 3, 1 | 4 | | 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 | | 9 | 9, 1 | 2 |
विभाज्यता के नियमों का सारांश | भाजक | नियम | उदाहरण | | --- | --- | --- | | 2 | अंतिम अंक सम | 128 | | 3 | अंकों का योग 3 से विभाज्य | 315 | | 4 | अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य | 436 | | 5 | अंतिम अंक 0 या 5 | 125 | | 6 | 2 और 3 दोनों से विभाज्य | 312 | | 8 | अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य | 2024 | | 9 | अंकों का योग 9 से विभाज्य | 315 | | 10 | अंतिम अंक 0 | 250 | | 11 | विषम-सम स्थान अंकों का योगांतर | 132 |
flowchart TD
A[संख्या आधारित प्रश्न] --> B[इकाई अंक]
A --> C[विभाज्यता नियम]
A --> D[संख्या रहस्य]
B --> E[चक्रीयता अवधि 4]
B --> F[शेष से चक्र का अंक]
C --> G[2 से 11 तक के नियम]
D --> H[10a + b रूप]
D --> H1[योग = 11(a+b)]
D --> I[अंतर = 9(a−b)]
अंक और संख्या पर आधारित प्रश्न रेलवे ग्रुप D परीक्षा में तीव्रता से अंक दिलाने वाले प्रश्न होते हैं, क्योंकि इन्हें लंबी गणना के बजाय चक्रीयता, विभाज्यता तथा 10a + b जैसी सरल तकनीकों से हल किया जाता है। नियमों का कंठस्थीकरण तथा नियमित अभ्यास इन प्रश्नों में गति और शुद्धता दोनों बढ़ाता है। इस अध्याय की दक्षता परीक्षा में अनेक प्रश्नों को कुछ ही सेकंड में हल करने में सहायक होती है।