विषय: रेलवे NTPC – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.7 अनुप्रयोग आधारित बीजगणित विषय-वस्तु: शब्द समस्याएँ
अनुप्रयोग आधारित बीजगणित अर्थात शब्द समस्याएँ, जीवन की वास्तविक परिस्थितियों को बीजीय समीकरणों में बदलकर हल करने की कला है। रेलवे NTPC परीक्षा में ये प्रश्न सबसे महत्वपूर्ण हैं क्योंकि ये परीक्षार्थी की अवधारणात्मक समझ और गणना दोनों का परीक्षण करते हैं। आयु, संख्या, क्रमागत संख्याएँ, वस्तुओं के मूल्य, मिश्रण, कार्य, समय-दूरी जैसे विषय इस अध्याय में शामिल हैं।
शब्द समस्या को हल करने का सबसे महत्वपूर्ण कदम है कथन का सही अनुवाद समीकरण में करना। "है", "होंगे", "से अधिक", "से कम", "का दुगुना", "आधा" जैसे शब्दों के गणितीय अर्थ जानना आवश्यक है। गलत समीकरण बनाने पर भले ही गणना सही हो, उत्तर गलत आता है। इसलिए पहले ध्यान से पढ़ें, फिर चर निर्धारित करें, फिर समीकरण बनाएँ।
इस अध्याय में हम संख्या और अंकों से संबंधित समस्याएँ, आयु संबंधी समस्याएँ, क्रमागत संख्याएँ, मूल्य/वस्तु समस्याएँ, मिश्रण तथा भिन्नों वाले अनुप्रयोगों का विस्तार से अभ्यास करेंगे। प्रत्येक प्रकार के साथ हल किए गए उदाहरण दिए गए हैं। अंत में त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ, माइंड मैप, आरेख, सामान्य गलतियाँ और परीक्षा युक्तियाँ प्रस्तुत हैं।
संख्या समस्याएँ: किसी अज्ञात संख्या को x मानकर उसके संबंध में दी गई शर्तों से समीकरण बनाया जाता है।
आयु संबंधी समस्याएँ: वर्तमान आयु को चर मानकर भविष्य और भूतकाल की आयुओं को उसके पदों में लिखा जाता है। याद रखें, कुछ वर्ष बाद दोनों व्यक्तियों की आयु में समान वर्ष जुड़ते हैं।
उदाहरण 1: किसी संख्या का 3/5 भाग उस संख्या के आधे से 7 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: (3/5)x = x/2 + 7, अतः (3/5 - 1/2)x = 7, (1/10)x = 7, x = 70।
उदाहरण 2: किसी संख्या के 60% और उसी संख्या के 35% का अंतर 50 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: 0.60x - 0.35x = 50, अतः 0.25x = 50, x = 200।
उदाहरण 3: पाँच वर्ष पहले एक पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की पाँच गुनी थी। वर्तमान में पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल: पुत्र की वर्तमान आयु x, पिता की 3x। पाँच वर्ष पहले: 3x - 5 = 5(x - 5), अर्थात 3x - 5 = 5x - 25, 2x = 20, x = 10।
उदाहरण 4: दो संख्याओं का अनुपात 5:7 है और उनका योग 96 है। छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: 5x + 7x = 96, 12x = 96, x = 8, छोटी संख्या = 40।
उदाहरण 5: एक संख्या के दो अंकों का योग 9 है और दोनों अंकों का गुणनफल 18 है। संख्या के दहाई अंक का मान ज्ञात कीजिए।
हल: दहाई अंक a, इकाई b; a + b = 9, ab = 18। संभावित अंक 3 और 6, दहाई अंक 6 या 3 दोनों संभव, अतः अंक 3 और 6।
उदाहरण 6: एक पिता की आयु अपने पुत्र की आयु के दुगुने से 5 वर्ष अधिक है। 10 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु के डेढ़ गुने से 10 वर्ष अधिक होगी। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल: पुत्र x, पिता 2x + 5। 10 वर्ष बाद: 2x + 15 = 1.5(x + 10) + 10, अर्थात 2x + 15 = 1.5x + 25, 0.5x = 10, x = 20।
क्रमागत संख्याएँ: क्रमागत पूर्णांक x, x + 1, x + 2 और क्रमागत सम/विषम संख्याएँ x, x + 2, x + 4 के रूप में लिखी जाती हैं।
वस्तु मूल्य: मान लीजिए x प्रत्येक वस्तु का मूल्य है; कुल मूल्य = वस्तुओं की संख्या × प्रति वस्तु मूल्य।
उदाहरण 7: तीन क्रमागत विषम संख्याओं का योग 57 है। सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: x + (x + 2) + (x + 4) = 57, अतः 3x + 6 = 57, x = 17। संख्याएँ 17, 19, 21; सबसे बड़ी 21।
उदाहरण 8: दो क्रमागत सम संख्याओं का योग 46 है। बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: x + (x + 2) = 46, 2x = 44, x = 22। संख्याएँ 22 और 24, बड़ी 24।
उदाहरण 9: 15 पुस्तकें और 20 पेन का कुल मूल्य 900 रुपये है। यदि एक पुस्तक का मूल्य एक पेन के मूल्य का 4 गुना हो तो एक पेन का मूल्य क्या है?
हल: पेन x, पुस्तक 4x। 15(4x) + 20x = 900, अतः 60x + 20x = 900, 80x = 900, x = 11.25 रुपये।
उदाहरण 10: एक व्यक्ति के पास 5 रुपये और 2 रुपये के कुल 40 सिक्के हैं। यदि कुल धन 140 रुपये हो तो 5 रुपये के सिक्कों की संख्या क्या है?
हल: 5 रुपये के सिक्के x, 2 रुपये के (40 - x)। 5x + 2(40 - x) = 140, अतः 5x + 80 - 2x = 140, 3x = 60, x = 20।
उदाहरण 11: तीन क्रमागत संख्याओं का योग 63 है। बीच वाली संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: x + (x + 1) + (x + 2) = 63, 3x + 3 = 63, x = 20। संख्याएँ 20, 21, 22; बीच वाली 21।
उदाहरण 12: 8 पेंसिल और 5 रबर का मूल्य 44 रुपये है। यदि एक रबर 4 रुपये का हो तो एक पेंसिल का मूल्य क्या है?
हल: 8x + 5 × 4 = 44, 8x = 24, x = 3 रुपये।
मिश्रण और भिन्न संबंधी समस्याओं में घटकों की मात्रा और उनके अनुपात का समीकरण बनाकर हल किया जाता है। "आधा", "दुगुना", "तीन चौथाई" जैसे शब्दों को भिन्नों में बदलना आवश्यक है।
उदाहरण 13: एक बोतल में 60 लीटर दूध और पानी का मिश्रण है। इसमें पानी दूध की एक तिहाई है। दूध की मात्रा ज्ञात कीजिए।
हल: दूध 3x, पानी x। 3x + x = 60, 4x = 60, x = 15। दूध = 45 लीटर।
उदाहरण 14: एक परीक्षा में किसी छात्र ने 480 में से 85% अंक प्राप्त किए। कितने अंक प्राप्त हुए?
हल: 85% of 480 = 0.85 × 480 = 408 अंक।
उदाहरण 15: एक संख्या का तीन चौथाई उस संख्या के दो तिहाई से 2 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: (3/4)x - (2/3)x = 2, अतः (9 - 8)/12 x = 2, x/12 = 2, x = 24।
उदाहरण 16: एक कक्षा में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 3:2 है। यदि कुल 45 छात्र हों तो लड़कों की संख्या कितनी है?
हल: 3x + 2x = 45, 5x = 45, x = 9, लड़के = 27।
उदाहरण 17: किसी संख्या में 12 जोड़ने पर प्राप्त संख्या, संख्या के 3 गुने से 4 कम है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: x + 12 = 3x - 4, अतः 16 = 2x, x = 8।
उदाहरण 18: दो टंकियों की क्षमता का अनुपात 4:5 है और उनकी क्षमता का अंतर 200 लीटर है। छोटी टंकी की क्षमता ज्ञात कीजिए।
हल: 5x - 4x = 200, x = 200, छोटी टंकी = 800 लीटर।
उदाहरण 19: एक संख्या के 25% में 10 जोड़ने पर 35 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: 0.25x + 10 = 35, 0.25x = 25, x = 100।
उदाहरण 20: 3 किलो चावल और 2 किलो गेहूँ का मूल्य 110 रुपये है। गेहूँ का मूल्य चावल के मूल्य से 5 रुपये कम है। चावल का प्रति किलो मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल: चावल x, गेहूँ (x - 5)। 3x + 2(x - 5) = 110, 5x - 10 = 110, 5x = 120, x = 24 रुपये।
| हिंदी शब्द | गणितीय अर्थ |
|---|---|
| है / हैं | = |
| से अधिक | + |
| से कम | - |
| का दुगुना | × 2 |
| का आधा | ÷ 2 या × 1/2 |
| का तिगुना | × 3 |
| अनुपात a:b | चर ax, bx |
| क्रमागत संख्याएँ | x, x+1, x+2 |
| क्रमागत सम/विषम | x, x+2, x+4 |
| समस्या प्रकार | चर निर्धारण | मुख्य समीकरण रूप |
|---|---|---|
| आयु | वर्तमान आयु x | भविष्य में x + वर्ष |
| संख्या | मान लें x | शर्तों का अनुवाद |
| क्रमागत | x, x+2, x+4 | योग का समीकरण |
| वस्तु मूल्य | प्रति वस्तु x | संख्या × मूल्य = कुल |
| मिश्रण | घटक अनुपात | योग = कुल मात्रा |
| प्रतिशत | मूल संख्या x | x का % = मान |
flowchart TD
A[अनुप्रयोग बीजगणित] --> B[कथन पढ़ें]
A --> C[चर निर्धारित करें]
A --> D[समीकरण बनाएँ]
A --> E[हल करें और जाँचें]
B --> F[से अधिक कम दुगुना आदि पहचानें]
C --> G[अज्ञात को x मानें]
D --> H[शर्तों को = चिह्न से जोड़ें]
E --> I[एक चर में बदलें]
E --> J[दो चर हों तो विलोपन]
I --> K[मान ज्ञात करें]
J --> K
K --> L[प्रश्न का उत्तर दें]
F --> M[सही संक्रिया चुनें]
अनुप्रयोग आधारित बीजगणित NTPC गणित के सबसे अधिक अंकों वाले भागों में से एक है। कथन को समझना, चर का सही निर्धारण और शर्तों का समीकरण में सटीक अनुवाद करना इसकी कुंजी है। विभिन्न प्रकार की समस्याओं का नियमित अभ्यास करने और प्रत्येक उत्तर को कथन में वापस रखकर जाँचने की आदत डालने से इस अध्याय में पूर्ण अंक प्राप्त करना निश्चित है।