1.5 LCM और HCF Notes

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1.5 LCM और HCF

विषय: रेलवे NTPC – गणित (संख्या पद्धति) अध्याय: 1.5 LCM और HCF विषय-वस्तु: लघुत्तम समापवर्त्य, महत्तम समापवर्तक

1. परिचय

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) गणित के वे दो अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय हैं जिनका उपयोग भिन्न, सरलीकरण, अनुपात और कई व्यावहारिक समस्याओं में होता है। एनटीपीसी परीक्षा में इस अध्याय से प्रत्येक वर्ष 2 से 4 प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं। LCM किसी समूह की सबसे छोटी सामान्य गुणज संख्या है, जबकि HCF उस समूह का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। इन दोनों की गणना के तरीके सीधे हैं, परंतु इनसे जुड़े वाक्यात्मक प्रश्नों (Word Problems) को समझना महत्वपूर्ण है।

जब दो या दो से अधिक संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड किया जाता है, तो सभी गुणनखंडों में उभयनिष्ठ गुणनखंडों का सबसे बड़ा गुणनफल HCF और सभी गुणनखंडों की अधिकतम घातों का गुणनफल LCM देता है। परीक्षा में सबसे अधिक भ्रम LCM और HCF की अवधारणा के उलटने को लेकर होता है, इसलिए दोनों की स्पष्ट परिभाषा और उनके प्रयोग के संकेतों को याद रखना चाहिए।

इस अध्याय में हम LCM और HCF की परिभाषाएँ, निकालने की विभिन्न विधियाँ (अभाज्य गुणनखंड विधि और विभाजन विधि), भिन्नों का LCM-HCF, तथा इनसे जुड़े व्यावहारिक प्रश्नों को हल करना विस्तार से सीखेंगे। साथ ही, दो संख्याओं के LCM, HCF और गुणनफल के बीच का संबंध भी समझेंगे, जो परीक्षा के लिए अत्यंत उपयोगी है।

2. महत्तम समापवर्तक (HCF)

महत्तम समापवर्तक (Highest Common Factor): दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन सभी संख्याओं को पूर्णतः विभाजित करती है। इसे महत्तम सामान्य भाजक (GCD) भी कहते हैं। उदाहरण के लिए 12 और 18 का HCF 6 है, क्योंकि 6 सबसे बड़ी संख्या है जो 12 और 18 दोनों को विभाजित करती है।

HCF निकालने की विधियाँ:

अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method): - प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। - सभी में उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों को लें। - इनका गुणनफल ही HCF होता है।

विभाजन विधि (Division Method): - बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दें। - शेषफल से पहले भाजक को भाग दें। - यह प्रक्रिया तब तक दोहराएं जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। - अंतिम भाजक ही HCF होता है।

HCF के गुणधर्म: - HCF हमेशा दी गई संख्याओं से छोटा या बराबर होता है। - किसी संख्या का HCF उसी संख्या के बराबर हो सकता है। जैसे HCF(8, 8) = 8। - सह-अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 होता है।

महत्वपूर्ण संकेत: जब प्रश्न में "सबसे बड़ी संख्या जो प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करे", "अधिकतम माप", "सबसे बड़ा भाजक" आदि शब्द हों, तो HCF निकालना होता है।

हल किया गया उदाहरण (Worked Example)

उदाहरण 1: 12, 18 और 24 का HCF ज्ञात कीजिए।

हल: अभाज्य गुणनखंड: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3। उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 और 3 हैं। सबसे छोटी घातों में 2¹ और 3¹। HCF = 2 × 3 = 6। उत्तर: 6

उदाहरण 2: 36, 48 और 60 का HCF विभाजन विधि से ज्ञात कीजिए।

हल: पहले 60 ÷ 48 = 1 शेष 12। फिर 48 ÷ 12 = 4 शेष 0। अतः 60 और 48 का HCF = 12। अब 36 ÷ 12 = 3 शेष 0। अतः तीनों का HCF = 12। उत्तर: 12

उदाहरण 3: दो संख्याओं का HCF 12 है। यदि संख्याएँ 36 और 48 हैं, तो सत्यापित कीजिए।

हल: 36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3। उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 और 3, सबसे छोटी घातें 2² और 3¹। HCF = 4 × 3 = 12। सत्यापित। उत्तर: 12

3. लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

लघुत्तम समापवर्त्य (Least Common Multiple): दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है जो उन सभी संख्याओं से पूर्णतः विभाजित होती है। उदाहरण के लिए 4 और 6 का LCM 12 है, क्योंकि 12 सबसे छोटी संख्या है जो 4 और 6 दोनों से विभाजित होती है।

LCM निकालने की विधियाँ:

अभाज्य गुणनखंड विधि: - प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें। - सभी अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घातों को लें। - इनका गुणनफल ही LCM होता है।

विभाजन विधि (Common Division Method): - सभी संख्याओं को एक साथ लिखकर उनके उभयनिष्ठ अभाज्य भाजक से विभाजित करें। - जब तक कोई उभयनिष्ठ भाजक न रहे, तब तक भाग जारी रखें। - सभी भाजकों और अंतिम भागफलों का गुणनफल ही LCM होता है।

LCM के गुणधर्म: - LCM हमेशा दी गई संख्याओं से बड़ा या बराबर होता है। - किसी संख्या का LCM उसी संख्या के बराबर हो सकता है। जैसे LCM(6, 6) = 6। - सह-अभाज्य संख्याओं का LCM उनके गुणनफल के बराबर होता है।

महत्वपूर्ण संकेत: जब प्रश्न में "सबसे छोटी संख्या जो प्रत्येक से विभाजित हो", "सबसे कम दूरी", "न्यूनतम समय जब साथ बजें" आदि शब्द हों, तो LCM निकालना होता है।

दो संख्याओं के LCM, HCF और गुणनफल का संबंध: - दो संख्याओं a और b के लिए: a × b = LCM(a, b) × HCF(a, b) - यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सत्य है, तीन या अधिक के लिए नहीं।

हल किया गया उदाहरण (Worked Example)

उदाहरण 4: 12, 18 और 24 का LCM ज्ञात कीजिए।

हल: अभाज्य गुणनखंड: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3। अधिकतम घातें: 2³ और 3²। LCM = 8 × 9 = 72। उत्तर: 72

उदाहरण 5: 4, 6, 8 का LCM विभाजन विधि से ज्ञात कीजिए।

हल: 4, 6, 8 को 2 से भाग: 2, 3, 4। पुनः 2 से भाग: 1, 3, 2। पुनः 2 से भाग: 1, 3, 1। अब 3 से भाग: 1, 1, 1। LCM = 2 × 2 × 2 × 3 = 24। उत्तर: 24

उदाहरण 6: दो संख्याओं का गुणनफल 324 है और उनका HCF 6 है। LCM ज्ञात कीजिए।

हल: LCM = गुणनफल ÷ HCF = 324 ÷ 6 = 54। उत्तर: 54

4. भिन्नों का LCM-HCF और व्यावहारिक प्रश्न

भिन्नों का LCM और HCF: - भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) ÷ (हरों का LCM) - भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) ÷ (हरों का HCF)

उदाहरण के लिए 2/3 और 4/5 का HCF = HCF(2,4) ÷ LCM(3,5) = 2/15। और LCM = LCM(2,4) ÷ HCF(3,5) = 4/1 = 4।

व्यावहारिक प्रश्नों के प्रकार:

कुछ विशेष प्रकार: - ऐसी सबसे छोटी संख्या जिसे x, y, z से भाग देने पर प्रत्येक में समान शेषफल r बचे: संख्या = LCM(x, y, z) + r। - ऐसी सबसे छोटी संख्या जिसे x, y, z से भाग देने पर क्रमशः शेषफल p, q, r बचें: पहले x - p, y - q, z - r के LCM लें, फिर संख्या = LCM - प्रथम भिन्नता। - ऐसी सबसे बड़ी संख्या जो x, y, z को विभाजित करने पर समान शेषफल छोड़े: संख्या = HCF(x - y, y - z) या HCF(x - z, ...)।

हल किया गया उदाहरण (Worked Example)

उदाहरण 7: 2/3 और 4/5 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।

हल: HCF = HCF(2, 4) ÷ LCM(3, 5) = 2 ÷ 15 = 2/15। LCM = LCM(2, 4) ÷ HCF(3, 5) = 4 ÷ 1 = 4। उत्तर: HCF = 2/15, LCM = 4

उदाहरण 8: ऐसी सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16 और 20 से भाग देने पर प्रत्येक में 5 शेष बचे।

हल: 12, 16, 20 का LCM = 240। आवश्यक संख्या = 240 + 5 = 245। उत्तर: 245

उदाहरण 9: दो संख्याओं का LCM 60 और HCF 5 है। यदि एक संख्या 20 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

हल: दूसरी संख्या = (LCM × HCF) ÷ पहली संख्या = (60 × 5) ÷ 20 = 300 ÷ 20 = 15। उत्तर: 15

उदाहरण 10: 4 मीटर और 6 मीटर लंबाई की दो रस्सियों को बराबर टुकड़ों में काटना है। सबसे बड़े टुकड़े की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल: यह HCF का प्रश्न है। HCF(4, 6) = 2 मीटर। सबसे बड़ा टुकड़ा 2 मीटर का होगा, जिससे 4 मीटर की रस्सी के 2 और 6 मीटर की रस्सी के 3 टुकड़े बनेंगे। उत्तर: 2 मीटर

5. त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ

तालिका 1: LCM और HCF की तुलना

विशेषता LCM HCF
पूर्ण रूप लघुत्तम समापवर्त्य महत्तम समापवर्तक
परिभाषा सबसे छोटी सामान्य गुणज सबसे बड़ा सामान्य भाजक
मान संख्याओं से बड़ा या बराबर संख्याओं से छोटा या बराबर
भिन्नों के लिए अंशों का LCM ÷ हरों का HCF अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
प्रश्न संकेत सबसे छोटी संख्या, न्यूनतम समय सबसे बड़ी संख्या, अधिकतम माप

तालिका 2: महत्वपूर्ण संबंध

संबंध सूत्र
दो संख्याओं का गुणनफल a × b = LCM × HCF
दूसरी संख्या (LCM × HCF) ÷ पहली संख्या
समान शेषफल r वाली संख्या LCM + r
भिन्नों का HCF अंश HCF ÷ हर LCM
भिन्नों का LCM अंश LCM ÷ हर HCF

6. माइंड मैप

flowchart TD
    A[LCM और HCF] --> B[HCF]
    A --> C[LCM]
    A --> D[संबंध]
    A --> E[भिन्नों का LCM HCF]
    B --> B1[अभाज्य गुणनखंड विधि]
    B --> B2[विभाजन विधि]
    B --> B3[सबसे बड़ा सामान्य भाजक]
    C --> C1[अभाज्य गुणनखंड विधि]
    C --> C2[विभाजन विधि]
    C --> C3[सबसे छोटी सामान्य गुणज]
    D --> D1[a × b = LCM × HCF]
    E --> E1[अंशों का HCF ÷ हरों का LCM]
    E --> E2[अंशों का LCM ÷ हरों का HCF]
    B3 --> F[व्यावहारिक प्रश्न]
    C3 --> F

7. महत्वपूर्ण आरेख (SVG)

12, 18 और 24 का LCM-HCF अभाज्य गुणनखंड 12 = 2² × 3 18 = 2 × 3² 24 = 2³ × 3 HCF = 2 × 3 = 6 सबसे छोटी घातें लीं LCM = 2³ × 3² = 72 अधिकतम घातें लीं HCF उभयनिष्ठ गुणनखंडों का छोटा गुणनफल है LCM सभी गुणनखंडों की बड़ी घातों का गुणनफल है स्वर्ण नियम: HCF के लिए छोटी घातें और LCM के लिए बड़ी घातें ली जाती हैं।

LCM और HCF में चयन का मार्ग प्रश्न पढ़ें सबसे बड़ा भाजक अधिकतम माप बराबर टुकड़े सबसे छोटी संख्या न्यूनतम समय साथ बजना HCF लें या LCM लें स्वर्ण नियम: सबसे बड़ी संख्या पूछने पर HCF और सबसे छोटी संख्या पूछने पर LCM लें।

8. सामान्य गलतियाँ

  1. LCM और HCF में भ्रम: सबसे बड़ी संख्या पूछने पर HCF और सबसे छोटी संख्या पूछने पर LCM लेने में अभ्यर्थी गलती करते हैं।
  2. तीन संख्याओं के लिए संबंध का प्रयोग: a × b = LCM × HCF का संबंध केवल दो संख्याओं के लिए है, तीन संख्याओं के लिए लागू नहीं होता।
  3. अभाज्य गुणनखंड में गलत घात: HCF में सबसे छोटी घात और LCM में सबसे बड़ी घात लेने के क्रम में भ्रम हो जाता है।
  4. भिन्नों का HCF-LCM उलटना: भिन्नों का HCF निकालते समय हर का LCM लेना आवश्यक है, न कि हर का HCF।
  5. समान शेषफल वाले प्रश्न में जोड़ना भूलना: संख्या को x, y, z से भाग देने पर शेषफल r बचता है, तो संख्या = LCM + r होती है, अभ्यर्थी केवल LCM लिख देते हैं।
  6. विभाजन विधि में सभी संख्याओं को भाग न देना: विभाजन विधि में प्रत्येक चरण में सभी संख्याओं को उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित करना चाहिए।

9. परीक्षा युक्तियाँ

  1. शब्दों पर ध्यान दें: प्रश्न में "सबसे बड़ी" या "अधिकतम" शब्द हों तो HCF, और "सबसे छोटी" या "न्यूनतम" शब्द हों तो LCM निकालें।
  2. दो संख्याओं का संबंध: a × b = LCM × HCF सूत्र का प्रयोग उत्तर तुरंत निकालने के लिए करें।
  3. अभाज्य गुणनखंड जल्दी करें: 2, 3, 5, 7 की विभाज्यता जांचकर गुणनखंड करें, यह विधि सबसे तेज़ है।
  4. समान शेषफल नियम: यदि शेषफल समान हो, तो संख्या = LCM + शेषफल, और यदि भाजक में कमी के रूप में शेषफल दिया हो, तो LCM - कमी।
  5. भिन्नों का नियम याद रखें: भिन्नों का HCF = अंश HCF ÷ हर LCM और LCM = अंश LCM ÷ हर HCF।
  6. विकल्प निरीक्षण: दिए गए विकल्पों में से वही चुनें जो सभी संख्याओं से विभाजित हो (LCM के लिए) या सभी संख्याओं को विभाजित करे (HCF के लिए)।

10. निष्कर्ष

LCM और HCF एनटीपीसी परीक्षा के उन अध्यायों में से हैं जिनसे अंक प्राप्त करना बहुत आसान है, बशर्ते अवधारणाएँ स्पष्ट हों। इस अध्याय में हमने दोनों की परिभाषाएँ, गणना की दोनों विधियाँ, भिन्नों के LCM-HCF के नियम, दो संख्याओं के बीच का संबंध तथा व्यावहारिक प्रश्नों को हल करना सीखा। अभ्यर्थी को चाहिए कि वह प्रतिदिन विभिन्न प्रकार के LCM-HCF के वाक्यात्मक प्रश्नों का अभ्यास करे, क्योंकि परीक्षा में इन्हीं से अधिकतम प्रश्न आते हैं। सही विधि और शीघ्र गणना से यह अध्याय निश्चित अंक दिलाने में सक्षम है।