विषय: रेलवे NTPC – गणित (त्रिकोणमिति और सांख्यिकी) अध्याय: 5.1 त्रिकोणमितीय अनुपात विषय-वस्तु: sin cos tan, मानक कोण
त्रिकोणमिति (Trigonometry) गणित की वह शाखा है जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन करती है। शब्द 'त्रिकोणमिति' की उत्पत्ति यूनानी भाषा के तीन शब्दों से हुई है – 'त्रि' (त्रिकोण), 'गोनो' (कोण) और 'मेट्रिया' (मापन)। अर्थात त्रिकोणमिति का शाब्दिक अर्थ है 'त्रिभुज की माप'। रेलवे NTPC की परीक्षा में त्रिकोणमिति से प्रतिवर्ष 2 से 4 प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं, और इनमें से अधिकांश प्रश्न त्रिकोणमितीय अनुपातों और मानक कोणों के मानों पर आधारित होते हैं।
त्रिकोणमिति का सबसे महत्वपूर्ण आधार 'समकोण त्रिभुज' है, जिसमें एक कोण 90° का होता है। समकोण त्रिभुज में कर्ण (Hypotenuse) सबसे लंबी भुजा होती है जो समकोण के सामने स्थित होती है। किसी तीव्र कोण के सापेक्ष शेष दो भुजाओं को लंब (Perpendicular) और आधार (Base) कहा जाता है। इन्हीं तीन भुजाओं के अनुपात से ही sin, cos और tan जैसे त्रिकोणमितीय अनुपात प्राप्त होते हैं। यह ज्ञान ऊँचाई-दूरी के प्रश्नों, ऊँची इमारतों की ऊँचाई निकालने और नदी की चौड़ाई मापने जैसे व्यावहारिक कार्यों में सहायक सिद्ध होता है।
इस अध्याय में हम समकोण त्रिभुज के आधार पर sin, cos, tan, cosec, sec और cot के अर्थ को विस्तार से समझेंगे। इसके साथ ही 0°, 30°, 45°, 60° और 90° जैसे मानक कोणों के सटीक मानों को याद करने की सरल विधियाँ सीखेंगे, जो परीक्षा में समय बचाने में बहुत सहायक होती हैं। रेलवे परीक्षाओं में त्रिकोणमितीय अनुपातों के प्रश्न सामान्यतः सीधे मान पूछने, सरलीकरण करने या किसी दिए गए अनुपात से लुप्त अनुपात ज्ञात करने पर आधारित होते हैं, इसलिए आधारभूत संकल्पनाओं की स्पष्ट समझ अत्यंत आवश्यक है।
समकोण त्रिभुज ABC पर विचार कीजिए जिसमें कोण B समकोण है। यदि कोण C को θ मान लें, तो कोण C के सापेक्ष:
इस परिभाषा के आधार पर छह त्रिकोणमितीय अनुपात इस प्रकार हैं:
याद रखने की सरल तरकीब: P-B-H (लंब-आधार-कर्ण)। क्रमबद्ध रूप में sin = P/H, cos = B/H, tan = P/B। इसे "पागल बंदर हाथी" जैसे वाक्य से याद रख सकते हैं – प (लंब) ब (आधार) ह (कर्ण)।
कुछ महत्वपूर्ण संबंध जो हमेशा याद रखने चाहिए:
उदाहरण 1: समकोण त्रिभुज में कर्ण 13 सेमी और आधार 12 सेमी है, तो sin θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: पाइथागोरस प्रमेय से, लंब² = कर्ण² − आधार² = 13² − 12² = 169 − 144 = 25 - चरण 2: अतः लंब = 5 सेमी - चरण 3: sin θ = लंब / कर्ण = 5 / 13 - उत्तर: 5/13
उदाहरण 2: यदि sin θ = 3/5 है, तो cos θ और tan θ के मान ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: sin θ = लंब/कर्ण = 3/5, अतः लंब = 3, कर्ण = 5 - चरण 2: आधार = √(कर्ण² − लंब²) = √(25 − 9) = √16 = 4 - चरण 3: cos θ = आधार/कर्ण = 4/5 - चरण 4: tan θ = लंब/आधार = 3/4 - उत्तर: cos θ = 4/5, tan θ = 3/4
0°, 30°, 45°, 60° और 90° को मानक कोण कहा जाता है क्योंकि इनके सटीक त्रिकोणमितीय मान सरल भिन्नों या वर्गमूलों में लिखे जा सकते हैं। ये मान NTPC परीक्षा के लिए सबसे महत्वपूर्ण हैं।
मानक कोणों के मान याद रखने की सबसे प्रसिद्ध विधि:
उदाहरण 3: sin 30° × cos 60° + cos 30° × sin 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: sin 30° = 1/2 और cos 60° = 1/2, अतः पहला पद = (1/2) × (1/2) = 1/4 - चरण 2: cos 30° = √3/2 और sin 60° = √3/2, अतः दूसरा पद = (√3/2) × (√3/2) = 3/4 - चरण 3: कुल मान = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1 - उत्तर: 1
उदाहरण 4: tan 60° − tan 30° / (1 + tan 60° × tan 30°) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: - चरण 1: tan 60° = √3 और tan 30° = 1/√3 - चरण 2: अंश = √3 − 1/√3 = (3 − 1)/√3 = 2/√3 - चरण 3: हर = 1 + √3 × (1/√3) = 1 + 1 = 2 - चरण 4: मान = (2/√3)/2 = 1/√3 = tan 30° - उत्तर: 1/√3
दो विशेष समकोण त्रिभुजों की सहायता से अधिकांश मानक मान सरलता से स्मरण किए जा सकते हैं:
दो कोणों का योग 90° होने पर उन्हें पूरक कोण कहते हैं। पूरक कोणों के लिए ये संबंध बहुत उपयोगी हैं:
उदाहरण 5: cos 60° का मान sin 30° के रूप में व्यक्त करें।
हल: cos 60° = cos (90° − 30°) = sin 30° = 1/2। उत्तर: 1/2
उदाहरण 6: sin 45° + cos 45° का मान ज्ञात कीजिए।
हल: sin 45° = 1/√2 और cos 45° = 1/√2, अतः योग = 2/√2 = √2। उत्तर: √2
| कोण θ | sin θ | cos θ | tan θ | cosec θ | sec θ | cot θ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित | 0 |
| अनुपात | पारस्परिक अनुपात | संबंध सूत्र |
|---|---|---|
| sin θ | cosec θ | sin θ = 1/cosec θ |
| cos θ | sec θ | cos θ = 1/sec θ |
| tan θ | cot θ | tan θ = 1/cot θ |
| tan θ | sin θ, cos θ | tan θ = sin θ/cos θ |
| cot θ | sin θ, cos θ | cot θ = cos θ/sin θ |
flowchart TD
A[5.1 त्रिकोणमितीय अनुपात] --> B[समकोण त्रिभुज P-B-H]
B --> C[sin = लंब/कर्ण]
B --> D[cos = आधार/कर्ण]
B --> E[tan = लंब/आधार]
A --> F[मानक कोण 0,30,45,60,90]
F --> G[sin क्रम √0,√1,√2,√3,√4]
G --> H[cos उल्टा क्रम]
F --> I[tan = sin/cos]
A --> J[पारस्परिक अनुपात]
J --> K[cosec = 1/sin]
J --> L[sec = 1/cos]
J --> M[cot = 1/tan]
A --> N[पूरक कोण]
N --> O[sin90-θ = cosθ]
A --> P[विशेष त्रिभुज 45-45-90 और 30-60-90]
त्रिकोणमितीय अनुपात रेलवे NTPC गणित का वह आधारभूत अध्याय है जिसकी मजबूत समझ न केवल इस अध्याय के प्रश्नों को हल करने में, बल्कि ऊँचाई-दूरी, सर्वसमिकाओं और आगामी अध्यायों के सभी त्रिकोणमितीय प्रश्नों को हल करने में सहायक सिद्ध होती है। समकोण त्रिभुज में लंब, आधार और कर्ण की स्पष्ट पहचान तथा मानक कोणों की तालिका को कंठस्थ करना इस अध्याय की सर्वोत्तम तैयारी है। दैनिक अभ्यास और पिछले वर्षों के प्रश्नों के समाधान से आप निश्चित रूप से इस अध्याय के 2 से 4 प्रश्नों में पूर्ण अंक प्राप्त कर सकते हैं।