विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – अंकगणित विषय-वस्तु: 2.9 समय और दूरी
समय और दूरी (Time and Distance) अंकगणित का वह मूलभूत विषय है जिसमें चाल (Speed), दूरी (Distance) और समय (Time) के बीच के संबंध का अध्ययन किया जाता है। इस विषय का मूल सूत्र दूरी = चाल × समय है। इसी सूत्र के आधार पर चाल = दूरी / समय तथा समय = दूरी / चाल के व्युत्पन्न रूप प्राप्त होते हैं। चाल को प्रायः किलोमीटर प्रति घंटा (किमी/घंटा) या मीटर प्रति सेकंड (मी/सेकंड) में मापा जाता है। इन दोनों इकाइयों के बीच रूपांतरण के लिए किमी/घंटा को मी/सेकंड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा किया जाता है और मी/सेकंड को किमी/घंटा में बदलने के लिए 18/5 से गुणा किया जाता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में समय और दूरी के प्रश्न प्रत्येक वर्ष पूछे जाते हैं।
समय और दूरी के प्रश्नों में औसत चाल की संकल्पना बहुत महत्वपूर्ण है। जब कोई व्यक्ति समान दूरी को अलग-अलग चालों से तय करता है, तो औसत चाल 2ab/(a+b) होती है, जहाँ a और b दोनों चालें हैं। यह सूत्र समान दूरी के लिए ही लागू होता है। यदि दूरी समान नहीं है, तो औसत चाल = कुल दूरी / कुल समय होती है। इसके अलावा सापेक्ष चाल (Relative Speed) की संकल्पना दो गतिशील वस्तुओं के प्रश्नों में उपयोग होती है। जब दो वस्तुएँ एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल उनकी चालों का अंतर होती है, और जब विपरीत दिशा में चलती हैं, तो योग होती है।
रेलवे परीक्षा की दृष्टि से इस विषय में कई प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं, जैसे कि चाल की इकाई का रूपांतरण, औसत चाल, समय परिवर्तन, समान चाल से विभिन्न दूरियों का समय, तथा दो व्यक्तियों की मिलने की स्थिति। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 के लिए समय और दूरी की दृढ़ नींव विशेष रूप से चाल और ट्रेन, पाइप और टंकी तथा कैलेंडर और घड़ी जैसे विषयों के लिए भी आवश्यक है। इन सभी विषयों में समय की गणना और इकाइयों का रूपांतरण समान सिद्धांतों पर आधारित है। इसलिए इस अध्याय को ध्यानपूर्वक समझना आवश्यक है।
समय और दूरी के तीन मूल सूत्र दूरी = चाल × समय, चाल = दूरी/समय तथा समय = दूरी/चाल हैं। गणना से पहले सभी इकाइयों को एक समान करना आवश्यक है। यदि दूरी किलोमीटर और समय घंटे में है, तो चाल किमी/घंटा में प्राप्त होती है। यदि दूरी मीटर और समय सेकंड में है, तो चाल मी/सेकंड में होती है। किमी/घंटा को मी/सेकंड में बदलने के लिए 5/18 से गुणा करें, क्योंकि 1 किमी/घंटा = 1000/3600 = 5/18 मी/सेकंड होता है। विपरीत रूपांतरण के लिए 18/5 से गुणा करें। उदाहरण के लिए, 36 किमी/घंटा = 36 × 5/18 = 10 मी/सेकंड।
उदाहरण 1: 54 किमी/घंटा की चाल को मी/सेकंड में बदलिए।
हल: 54 × 5/18 = 15 मी/सेकंड।
उदाहरण 2: एक रेलगाड़ी 360 किमी की दूरी 6 घंटे में तय करती है। उसकी चाल ज्ञात कीजिए।
हल: चाल = दूरी/समय = 360/6 = 60 किमी/घंटा।
औसत चाल का सामान्य सूत्र कुल दूरी / कुल समय है। परंतु जब कोई व्यक्ति समान दूरी को दो अलग-अलग चालों a और b से तय करता है, तो औसत चाल 2ab/(a+b) होती है। यह सूत्र इसलिए महत्वपूर्ण है क्योंकि केवल चालों का औसत निकालना (a+b)/2 गलत उत्तर देता है। समान दूरी की स्थिति में कुल समय d/a + d/b होता है, जिससे 2d / (d/a + d/b) = 2ab/(a+b) प्राप्त होता है। यदि समय समान हो और चालें अलग-अलग हों, तो औसत चाल साधारण औसत (a+b)/2 होती है। दोनों स्थितियों में अंतर समझना आवश्यक है।
उदाहरण 3: एक व्यक्ति 40 किमी/घंटा और 60 किमी/घंटा की चाल से समान दूरी तय करता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल: औसत चाल = 2 × 40 × 60 / (40 + 60) = 4800/100 = 48 किमी/घंटा।
उदाहरण 4: एक गाड़ी पहले 2 घंटे में 30 किमी/घंटा और अगले 3 घंटे में 40 किमी/घंटा की चाल से चलती है। औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल: कुल दूरी = 2 × 30 + 3 × 40 = 60 + 120 = 180 किमी। कुल समय = 5 घंटे। औसत चाल = 180/5 = 36 किमी/घंटा।
जब दो वस्तुएँ या व्यक्ति एक ही दिशा में चलते हैं, तो उनके बीच की दूरी उनकी चालों के अंतर से घटती या बढ़ती है। इस अंतर को सापेक्ष चाल कहते हैं। जब वे विपरीत दिशाओं में चलते हैं, तो सापेक्ष चाल दोनों चालों का योग होती है। मिलने का समय = प्रारंभिक दूरी / सापेक्ष चाल होता है। यदि दो व्यक्ति एक ही स्थान से अलग-अलग चालों से विपरीत दिशाओं में चलते हैं, तो समय t के बाद उनके बीच की दूरी = t × (चालों का योग) होती है। ये संकल्पनाएँ रेलवे परीक्षा के प्रश्नों में बहुत उपयोगी हैं।
उदाहरण 5: दो व्यक्ति एक ही स्थान से विपरीत दिशाओं में क्रमशः 5 किमी/घंटा और 7 किमी/घंटा की चाल से चलते हैं। 3 घंटे बाद उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: सापेक्ष चाल = 5 + 7 = 12 किमी/घंटा। दूरी = 12 × 3 = 36 किमी।
उदाहरण 6: दो व्यक्ति A और B, 100 किमी की दूरी पर हैं। A, 20 किमी/घंटा और B, 30 किमी/घंटा की चाल से एक-दूसरे की ओर चलते हैं। वे कितने समय बाद मिलेंगे?
हल: सापेक्ष चाल = 20 + 30 = 50 किमी/घंटा। समय = 100/50 = 2 घंटे।
| अज्ञात राशि | सूत्र | टिप्पणी |
|---|---|---|
| दूरी | चाल × समय | इकाइयाँ समान हों |
| चाल | दूरी / समय | किमी/घंटा या मी/सेकंड |
| समय | दूरी / चाल | घंटे या सेकंड |
| औसत चाल (समान दूरी) | 2ab/(a + b) | केवल समान दूरी के लिए |
| औसत चाल (सामान्य) | कुल दूरी / कुल समय | हमेशा लागू |
| रूपांतरण / स्थिति | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| किमी/घंटा → मी/सेकंड | 5/18 से गुणा | 36 किमी/घंटा = 10 मी/सेकंड |
| मी/सेकंड → किमी/घंटा | 18/5 से गुणा | 20 मी/सेकंड = 72 किमी/घंटा |
| एक ही दिशा में सापेक्ष चाल | चालों का अंतर | 40 - 30 = 10 किमी/घंटा |
| विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल | चालों का योग | 40 + 30 = 70 किमी/घंटा |
flowchart TD
A[समय और दूरी] --> B[मूल सूत्र D = S × T]
A --> C[इकाई रूपांतरण]
A --> D[औसत चाल]
A --> E[सापेक्ष चाल]
B --> B1[चाल = D/T]
B --> B2[समय = D/S]
C --> C1[किमी/घंटा × 5/18 = मी/सेकंड]
C --> C2[मी/सेकंड × 18/5 = किमी/घंटा]
D --> D1[समान दूरी: 2ab/(a+b)]
D --> D2[कुल दूरी / कुल समय]
E --> E1[एक ही दिशा: अंतर]
E --> E2[विपरीत दिशा: योग]
समय और दूरी अंकगणित का वह आधारभूत विषय है जिस पर चाल और ट्रेन, पाइप और टंकी तथा अन्य गति संबंधी विषय निर्भर करते हैं। इस अध्याय में हमने मूल सूत्र दूरी = चाल × समय, इकाई रूपांतरण, औसत चाल और सापेक्ष चाल की संकल्पनाएँ सीखीं। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में इन्हीं अवधारणाओं से प्रश्न पूछे जाते हैं। इकाइयों के सही रूपांतरण और समान दूरी के लिए 2ab/(a+b) सूत्र की पकड़ ही सटीक उत्तर देने की कुंजी है। नियमित अभ्यास से इस विषय में महारत हासिल कर परीक्षा में सुनिश्चित अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।