विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – ज्यामिति और क्षेत्रमिति विषय-वस्तु: 4.6 परिमाप
परिमाप किसी बंद आकृति की सभी भुजाओं की कुल लंबाई होती है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में परिमाप से संबंधित प्रश्न वर्ग, आयत, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब, वृत्त और कभी-कभी अर्धवृत्त के रूप में पूछे जाते हैं। परिमाप की इकाई हमेशा रैखिक (मीटर, सेमी, किमी) होती है। बाड़ लगाने, तार लपेटने, दीवार की सजावट, किनारा बनाने आदि के प्रश्न परिमाप पर आधारित होते हैं। परिमाप की सही समझ के बिना क्षेत्रफल और आयतन जैसी आगे की अवधारणाओं को समझना कठिन है।
प्रत्येक आकृति का परिमाप सूत्र उसकी भुजाओं की संख्या और लंबाई पर निर्भर करता है। वर्ग का परिमाप 4 × भुजा होता है। आयत का परिमाप 2 × (लंबाई + चौड़ाई) होता है। त्रिभुज का परिमाप तीनों भुजाओं का योग होता है। समबाहु त्रिभुज का परिमाप 3 × भुजा, समद्विबाहु का 2 × बराबर भुजा + आधार होता है। समांतर चतुर्भुज और आयत का परिमाप समान सूत्र से निकलता है क्योंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। समचतुर्भुज और वर्ग का परिमाप भी समान नियम से निकलता है। इन सूत्रों को सही आकृति पर लगाना परीक्षा में सफलता की पहली शर्त है।
इस अध्याय में हम वर्ग, आयत, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब और वृत्त के परिमाप सूत्रों का अध्ययन करेंगे। इसके साथ ही परिमाप से भुजा ज्ञात करना, आधे/आधे से अधिक आकृतियों (जैसे अर्धवृत्त) का परिमाप तथा बाड़-लगाने जैसे अनुप्रयोग प्रश्नों को हल किया जाएगा। प्रत्येक सूत्र के साथ हल किए गए संख्यात्मक उदाहरण दिए गए हैं। अंत में त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ, माइंड मैप, महत्वपूर्ण चित्र, सामान्य त्रुटियाँ और परीक्षा युक्तियाँ प्रस्तुत की गई हैं।
वर्ग का परिमाप सूत्र P = 4 × भुजा है। यदि भुजा a हो तो परिमाप 4a होता है। यदि परिमाप दिया हो तो भुजा = परिमाप ÷ 4 होती है। आयत का परिमाप P = 2(l + b) है, जहाँ l लंबाई और b चौड़ाई है। यदि आयत का परिमाप और एक भुजा ज्ञात हो तो दूसरी भुजा = (परिमाप/2) - ज्ञात भुजा से निकाली जाती है। आयत के विकर्ण और भुजाओं से संबंधित प्रश्नों में पाइथागोरस प्रमेय भी प्रयुक्त होता है। वर्ग और आयत के परिमाप के प्रश्न परीक्षा में सबसे सामान्य हैं।
त्रिभुज का परिमाप तीनों भुजाओं की लंबाइयों का योग होता है। समबाहु त्रिभुज में तीनों भुजाएँ बराबर होने से परिमाप 3 × भुजा होता है। समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 2a + b होता है जहाँ a बराबर भुजा और b आधार है। विषमबाहु त्रिभुज का परिमाप सभी भुजाओं का योग होता है। त्रिभुज के परिमाप से यह भी पूछा जाता है कि दो भुजाएँ दी हुई हैं और परिमाप ज्ञात है, तो तीसरी भुजा निकालिए। ऐसे प्रश्न परिमाप में से दोनों ज्ञात भुजाओं का योग घटाकर हल होते हैं। समकोण त्रिभुज में यदि दो भुजाएँ दी हों तो तीसरी पाइथागोरस प्रमेय से निकालकर परिमाप ज्ञात किया जाता है।
उदाहरण 1: एक वर्ग की भुजा 15 सेमी है, उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: परिमाप = 4 × 15 = 60 सेमी।
उदाहरण 2: एक आयत की लंबाई 20 सेमी और चौड़ाई 14 सेमी है, परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: परिमाप = 2(20 + 14) = 2 × 34 = 68 सेमी।
उदाहरण 3: एक त्रिभुज की भुजाएँ 9, 12 और 15 सेमी हैं, परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: परिमाप = 9 + 12 + 15 = 36 सेमी।
समांतर चतुर्भुज का परिमाप 2 × (आसन्न भुजाओं का योग) होता है। यदि दो आसन्न भुजाएँ a और b हों तो परिमाप 2(a + b) है। समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होने से परिमाप 4 × भुजा होता है। समलंब का परिमाप चारों भुजाओं का योग होता है; इसमें कोई विशेष सूत्र नहीं होता, केवल सभी भुजाओं को जोड़ा जाता है। पतंग का परिमाप भी चारों भुजाओं का योग होता है। परिमाप से किसी भी चतुर्भुज की एक भुजा ज्ञात करने के लिए शेष भुजाओं का योग घटाया जाता है।
वृत्त का परिमाप परिधि कहलाता है और उसका सूत्र 2πr या πd होता है। अर्धवृत्त की चाप की लंबाई πr होती है और यदि अर्धवृत्त को बंद आकृति मानें तो उसका परिमाप πr + 2r होता है, अर्थात चाप की लंबाई में व्यास जोड़ा जाता है। चतुर्थांश (quarter circle) का परिमाप (πr/2) + 2r होता है। इन संयुक्त आकृतियों के परिमाप के प्रश्न परीक्षा में पूछे जाते हैं। दो आकृतियों के परिमापों की तुलना से संबंधित प्रश्न भी सामान्य हैं, जैसे समान परिमाप वाले वर्ग और आयत की भुजाएँ ज्ञात करना।
उदाहरण 4: एक समचतुर्भुज की भुजा 8 सेमी है, परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: परिमाप = 4 × 8 = 32 सेमी।
उदाहरण 5: एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, परिधि ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
हल: परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी।
परिमाप के अनुप्रयोग प्रश्न वास्तविक जीवन से जुड़े होते हैं। सबसे सामान्य अनुप्रयोग है बाड़ लगाना। यदि किसी आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई दी हो तो एक चक्कर की बाड़ की लंबाई परिमाप होगी। यदि तीन चक्कर तार लगाने हों तो कुल लंबाई 3 × परिमाप होगी। यदि बाड़ में फाटक की चौड़ाई छोड़नी हो तो परिमाप में से फाटक की चौड़ाई घटाई जाती है। इसके अतिरिक्त तार की लागत निकालने के लिए कुल लंबाई को प्रति मीटर दर से गुणा किया जाता है। ऐसे प्रश्नों में इकाई पर ध्यान देना आवश्यक है।
परिमाप से भुजा ज्ञात करने के प्रश्न भी महत्वपूर्ण हैं। यदि किसी आयत का परिमाप 60 मीटर और लंबाई 20 मीटर है तो चौड़ाई = (60/2) - 20 = 10 मीटर। यदि किसी वर्ग का परिमाप 48 सेमी है तो भुजा = 48/4 = 12 सेमी। यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ और परिमाप दिए हों तो तीसरी भुजा ज्ञात की जा सकती है। कुछ प्रश्नों में दो आकृतियों के परिमापों की तुलना करके बड़ी/छोटी आकृति की पहचान करनी होती है। समान परिमाप वाली विभिन्न आकृतियों के बीच भुजाओं की तुलना भी पूछी जाती है।
उदाहरण 6: एक आयताकार खेत की लंबाई 40 मीटर और चौड़ाई 25 मीटर है। उसके चारों ओर तार की बाड़ लगानी है। 3 चक्कर के लिए कितने मीटर तार चाहिए?
हल: परिमाप = 2(40 + 25) = 130 मीटर। 3 चक्कर के लिए = 3 × 130 = 390 मीटर।
उदाहरण 7: एक वर्ग का परिमाप 36 सेमी है, उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
हल: भुजा = 36 ÷ 4 = 9 सेमी।
| आकृति | परिमाप सूत्र |
|---|---|
| वर्ग | 4 × भुजा |
| आयत | 2 × (लंबाई + चौड़ाई) |
| समबाहु त्रिभुज | 3 × भुजा |
| त्रिभुज | भुजाओं का योग |
| समांतर चतुर्भुज | 2 × (आसन्न भुजाओं का योग) |
| समचतुर्भुज | 4 × भुजा |
| समलंब | चारों भुजाओं का योग |
| वृत्त (परिधि) | 2πr = πd |
| दिया गया है | अज्ञात | सूत्र |
|---|---|---|
| वर्ग का परिमाप | भुजा | परिमाप ÷ 4 |
| आयत परिमाप और लंबाई | चौड़ाई | (परिमाप/2) - लंबाई |
| त्रिभुज परिमाप और दो भुजाएँ | तीसरी भुजा | परिमाप - (भुजाओं का योग) |
| वृत्त की त्रिज्या | परिधि | 2πr |
| परिधि | त्रिज्या | परिधि ÷ 2π |
flowchart TD
A[परिमाप] --> B[वर्ग]
A --> C[आयत]
A --> D[त्रिभुज]
A --> E[चतुर्भुज]
A --> F[वृत्त]
B --> B1[4 × भुजा]
C --> C1[2(लंबाई + चौड़ाई)]
D --> D1[भुजाओं का योग]
E --> E1[समांतर 2(a+b)]
E --> E2[समचतुर्भुज 4a]
F --> F1[परिधि 2πr]
परिमाप क्षेत्रमिति की पहली मूलभूत अवधारणा है। इस अध्याय में हमने वर्ग, आयत, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, समलंब और वृत्त के परिमाप सूत्रों तथा उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन किया। संख्यात्मक उदाहरणों से स्पष्ट हुआ कि परिमाप के प्रश्न सीधे सूत्रों पर आधारित होते हैं और भुजा ज्ञात करने वाले प्रश्न भी आसानी से हल हो जाते हैं। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में परिमाप के प्रश्न बाड़ लगाने, तार लपेटने और आकृति की भुजा ज्ञात करने के रूप में पूछे जाते हैं। सूत्रों की स्मृति, सही इकाई और सावधान गणना के साथ यह अध्याय आसानी से पूर्ण अंक दिला सकता है। परिमाप की समझ क्षेत्रफल के अध्याय की नींव भी है।