विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – संख्या पद्धति विषय-वस्तु: 1.7 सरलीकरण
सरलीकरण (Simplification) गणित का वह अध्याय है जिसमें भिन्न, दशमलव, घात, कोष्ठक और BODMAS नियम के मिश्रण से बने जटिल व्यंजकों को सरलतम रूप में बदला जाता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में सरलीकरण के प्रश्न प्रत्येक पेपर में 3 से 5 की संख्या में आते हैं। ये प्रश्न स्कोरिंग होते हैं क्योंकि इन्हें BODMAS क्रम और बुनियादी संक्रियाओं की दृढ़ पकड़ से कुछ ही सेकंड में हल किया जा सकता है। परीक्षा में समय प्रबंधन के लिए यह अध्याय सर्वाधिक महत्वपूर्ण है।
सरलीकरण के प्रश्नों में सामान्यतः वर्ग, वर्गमूल, घन, भिन्न, दशमलव तथा प्रतिशत की संक्रियाएँ एक साथ होती हैं। इन्हें हल करने के लिए BODMAS का क्रम — कोष्ठक, of, भाग, गुणा, जोड़, घटाव — सख्ती से अपनाया जाता है। इसके साथ ही कुछ बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे (a + b)² = a² + 2ab + b² और (a² - b²) = (a + b)(a - b) का प्रयोग भी होता है, जो जटिल गणनाओं को तुरंत सरल करते हैं।
इस अध्याय में हम BODMAS-आधारित सरलीकरण, भिन्न और दशमलव युक्त व्यंजक, वर्ग-वर्गमूल युक्त व्यंजक, सर्वसमिकाओं के प्रयोग तथा "का" (of) की अवधारणा से संबंधित प्रश्नों का विस्तृत अध्ययन करेंगे। लघु उत्तरीय विधियों (shortcut) का अभ्यास रेलवे परीक्षा में निर्णायक भूमिका निभाता है।
सरलीकरण में सबसे पहली आवश्यकता BODMAS के क्रम को पूर्णतः आत्मसात करना है। कोष्ठक को अंदर से बाहर की ओर हल करें, फिर of और घात, उसके बाद भाग, गुणा, जोड़ और अंत में घटाव। भाग-गुणा तथा जोड़-घटाव में बाएँ से दाएँ क्रम रखें।
उदाहरण 1: 5 + 3 × 2 - 4 ÷ 2 सरल कीजिए।
हल: BODMAS क्रम — पहले भाग: 4 ÷ 2 = 2। फिर गुणा: 3 × 2 = 6। अब 5 + 6 - 2 = 9। अतः उत्तर 9 है। (ध्यान दें: यदि पहले 5 + 3 = 8 किया जाता तो उत्तर गलत आता।)
उदाहरण 2: 12 ÷ 3 × (4 + 2) - 5 सरल कीजिए।
हल: पहले कोष्ठक: 4 + 2 = 6। अब 12 ÷ 3 × 6 - 5। भाग: 12 ÷ 3 = 4। गुणा: 4 × 6 = 24। घटाव: 24 - 5 = 19। अतः उत्तर 19 है।
भिन्न युक्त व्यंजकों में पहले अंश-हर का सरलीकरण अलग-अलग किया जाता है, फिर संक्रियाएँ। दशमलव युक्त व्यंजकों में दशमलव स्थानों का ध्यान रखते हुए संक्रियाएँ की जाती हैं।
उदाहरण 3: (3/4 ÷ 9/8) × 6 सरल कीजिए।
हल: 3/4 ÷ 9/8 = 3/4 × 8/9 = 24/36 = 2/3। अब 2/3 × 6 = 12/3 = 4। अतः उत्तर 4 है।
उदाहरण 4: (0.5 + 0.25) × 0.4 सरल कीजिए।
हल: पहले कोष्ठक: 0.5 + 0.25 = 0.75। फिर 0.75 × 0.4 = 0.30 = 0.3। अतः उत्तर 0.3 है।
कुछ व्यंजकों में बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करने से गणना अत्यंत सरल हो जाती है। मुख्य सर्वसमिकाएँ हैं — (a + b)² = a² + 2ab + b², (a - b)² = a² - 2ab + b², a² - b² = (a + b)(a - b), (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ तथा a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)।
उदाहरण 5: 1.05² - 0.95² का मान ज्ञात कीजिए।
हल: a² - b² = (a + b)(a - b) का प्रयोग — (1.05 + 0.95)(1.05 - 0.95) = 2 × 0.10 = 0.2। अतः उत्तर 0.2 है।
उदाहरण 6: 998² का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 998 = 1000 - 2। (1000 - 2)² = 1000² - 2 × 1000 × 2 + 2² = 1000000 - 4000 + 4 = 996004। अतः उत्तर 996004 है।
| सर्वसमिका | विस्तार |
|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² |
| (a - b)² | a² - 2ab + b² |
| a² - b² | (a + b)(a - b) |
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| a³ + b³ | (a + b)(a² - ab + b²) |
| a³ - b³ | (a - b)(a² + ab + b²) |
| प्रकार | विधि | उदाहरण |
|---|---|---|
| BODMAS व्यंजक | क्रमानुसार संक्रियाएँ | 5 + 3 × 2 - 4 ÷ 2 = 9 |
| भिन्न व्यंजक | अलग-अलग अंश-हर सरल करें | (3/4 ÷ 9/8) × 6 = 4 |
| दशमलव व्यंजक | दशमलव स्थानों पर ध्यान | (0.5 + 0.25) × 0.4 = 0.3 |
| सर्वसमिका व्यंजक | (a-b)², a²-b² सूत्र | 998² = 996004 |
| वर्ग-वर्गमूल | पहले मूल संक्रिया | √144 + 12 = 24 |
flowchart TD
A[सरलीकरण] --> B[BODMAS]
A --> C[भिन्न व्यंजक]
A --> D[दशमलव व्यंजक]
A --> E[सर्वसमिकाएँ]
B --> B1[कोष्ठक]
B --> B2[of और घात]
B --> B3[भाग-गुणा]
B --> B4[जोड़-घटाव]
C --> C1[व्युत्क्रम से भाग]
E --> E1[(a+b)²]
E --> E2[a² - b²]
E --> E3[(a-b)²]
सरलीकरण रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा का सबसे स्कोरिंग अध्याय है। इस अध्याय में हमने BODMAS क्रम के सटीक प्रयोग, भिन्न-दशमलव युक्त व्यंजकों की विधि तथा सर्वसमिकाओं से तीव्र गणना के मंत्र सीखे। सरलीकरण की दृढ़ पकड़ न केवल इस अध्याय के प्रश्नों बल्कि प्रतिशत, औसत और लाभ-हानि के प्रश्नों में भी गति प्रदान करती है। नियमित अभ्यास से विद्यार्थी जटिल से जटिल व्यंजक को 30-40 सेकंड में हल कर सकता है, जिससे परीक्षा में अन्य प्रश्नों के लिए कीमती समय बचता है। यही कारण है कि सरलीकरण को प्रत्येक गणितीय तैयारी का प्रथम चरण माना जाता है।