विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: तर्कशक्ति – तर्क और विश्लेषणात्मक तर्क विषय-वस्तु: 9.2 वेन आरेख
वेन आरेख (Venn Diagram) तर्कशक्ति का वह विषय है जिसमें समुच्चयों के बीच संबंधों को वृत्तों द्वारा दर्शाया जाता है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में वेन आरेख पर दो प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं। पहले प्रकार में तीन या चार समुच्चय दिए जाते हैं और सही आरेख का चयन करना होता है। दूसरे प्रकार में आरेख दिया जाता है और उसके आधार पर समुच्चयों के संबंध या विभिन्न क्षेत्रों की संख्या पूछी जाती है। इन प्रश्नों का आधार समुच्चयों के बीच उभयनिष्ठ (common) और अलग-अलग भागों की स्पष्ट पहचान है।
वेन आरेख को समझने के लिए तीन मूल संबंधों का ज्ञान आवश्यक है। पहला, दो समुच्चयों का पूर्ण संबंध — जब एक समुच्चय दूसरे के अंदर हो। दूसरा, आंशिक संबंध — जब दोनों समुच्चयों के बीच कुछ उभयनिष्ठ भाग हो। तीसरा, कोई संबंध नहीं — जब दोनों समुच्चय एक-दूसरे से पूर्णतः अलग हों। इन्हीं तीन संबंधों के संयोजन से तीन या चार वृत्तों वाले जटिल वेन आरेख बनते हैं।
इस अध्याय में हम शब्दों से वेन आरेख बनाना, दिए गए आरेख से सही शब्द-समूह चुनना, और तीन समुच्चयों वाले आरेख में क्षेत्रों की गणना सीखेंगे। परीक्षा की दृष्टि से वेन आरेख के प्रश्न सरल और स्कोरिंग होते हैं। वास्तविक जीवन के उदाहरणों जैसे पक्षी, पशु, विमान, वाहन आदि के संबंधों से ये प्रश्न आसानी से समझे जा सकते हैं।
जब तीन या चार शब्द दिए जाते हैं, तो उनके बीच के संबंधों को वेन आरेख में दर्शाना होता है। पहले शब्दों के बीच संबंध निर्धारित करते हैं, फिर उसके अनुसार वृत्तों की व्यवस्था करते हैं। उदाहरण के लिए, पक्षी, उड़ने वाले जीव, कौआ — यहाँ कौआ पक्षी है और पक्षी उड़ने वाले जीव हैं, अतः तीनों नेस्टेड (एक के अंदर एक) वृत्त बनेंगे। इसी प्रकार पिता, पुरुष, इंजीनियर में कुछ संबंध आंशिक होंगे।
उदाहरण 1: निम्नलिखित में से कौन-सा वेन आरेख सबसे उपयुक्त है: कुत्ते, पशु, स्तनधारी?
हल: सभी कुत्ते स्तनधारी हैं और सभी स्तनधारी पशु हैं। अतः सबसे छोटा वृत्त कुत्ते, उसके बाहर स्तनधारी और सबसे बाहर पशु होगा। यह नेस्टेड वृत्त वाला आरेख सही उत्तर है।
उदाहरण 2: वाहन, कार, साइकिल में कौन-सा आरेख उपयुक्त है?
हल: कार और साइकिल दोनों वाहन हैं, परंतु कार और साइकिल एक-दूसरे से अलग हैं। अतः बड़ा वृत्त वाहन और उसके अंदर दो अलग-अलग वृत्त कार और साइकिल होंगे।
कुछ प्रश्नों में वेन आरेख दिया जाता है और पूछा जाता है कि कौन-सा शब्द-समूह उस आरेख के अनुसार है। इन प्रश्नों में आरेख में अलग-अलग क्षेत्रों की संख्या और उनके आपसी संबंधों का विश्लेषण करना होता है। यदि आरेख में दो वृत्त पूर्णतः अलग हैं, तो शब्द-समूह में वे शब्द परस्पर असंबद्ध होने चाहिए। यदि एक वृत्त दूसरे के अंदर है, तो उसका समुच्चय भी उसके अंदर होना चाहिए।
उदाहरण 3: दिए गए आरेख में बड़ा वृत्त A के अंदर छोटा वृत्त B और उसके अंदर सबसे छोटा वृत्त C है। यह किस शब्द-समूह को दर्शाता है?
हल: A = पशु, B = स्तनधारी, C = बिल्ली जैसा समूह सही है, क्योंकि सभी बिल्लियाँ स्तनधारी हैं और सभी स्तनधारी पशु हैं। इसी प्रकार A = वाहन, B = कार, C = मारुति सही उदाहरण है।
उदाहरण 4: यदि आरेख में A और B दो अलग वृत्त हैं जो एक बड़े वृत्त C के अंदर हैं, तो सही शब्द-समूह कौन-सा है?
हल: C = वाहन, A = साइकिल, B = मोटरसाइकिल सही है, क्योंकि साइकिल और मोटरसाइकिल दोनों वाहन हैं परंतु एक-दूसरे से अलग हैं।
तीन समुच्चयों वाले वेन आरेख में सात क्षेत्र बनते हैं: तीन केवल एक-एक समुच्चय के, तीन दो-दो समुच्चयों के उभयनिष्ठ, और एक तीनों के उभयनिष्ठ। इन क्षेत्रों की संख्या के आधार पर कुल तत्वों की गणना सूत्र से की जाती है। कुल तत्व = केवल A + केवल B + केवल C + उभयनिष्ठ A और B + उभयनिष्ठ B और C + उभयनिष्ठ C और A + तीनों का उभयनिष्ठ। इस सूत्र का सही प्रयोग करना आवश्यक है।
उदाहरण 5: 100 विद्यार्थियों में 50 गणित, 40 विज्ञान और 20 दोनों विषय पसंद करते हैं। कितने विद्यार्थी कोई भी विषय पसंद नहीं करते?
हल: केवल गणित = 50 - 20 = 30, केवल विज्ञान = 40 - 20 = 20। कुल पसंद करने वाले = 30 + 20 + 20 = 70। नहीं पसंद करने वाले = 100 - 70 = 30।
| संबंध | आरेख | उदाहरण |
|---|---|---|
| पूर्ण संबंध | एक वृत्त दूसरे के अंदर | कौआ, पक्षी, जीव |
| आंशिक संबंध | उभयनिष्ठ भाग | पिता, शिक्षक, पुरुष |
| कोई संबंध नहीं | दो अलग वृत्त | पक्षी, मछली |
| समान समुच्चय | एक ही वृत्त | रेलगाड़ी, ट्रेन |
| मात्रा | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| केवल A | A - (A∩B) - (A∩C) + (A∩B∩C) | 50 - 20 = 30 |
| केवल A और B | (A∩B) - (A∩B∩C) | 20 - 0 = 20 |
| तीनों का उभयनिष्ठ | A∩B∩C | 10 |
| कुल तत्व | सभी क्षेत्रों का योग | 30+20+20+10 |
flowchart TD
A[वेन आरेख] --> B[संबंधों के प्रकार]
A --> C[आरेख बनाना]
A --> D[आरेख पहचानना]
A --> E[गणना विधि]
B --> B1[पूर्ण संबंध]
B --> B2[आंशिक संबंध]
B --> B3[कोई संबंध नहीं]
C --> C1[नेस्टेड वृत्त]
C --> C2[अलग वृत्त]
D --> D1[क्षेत्रों का विश्लेषण]
E --> E1[कुल = सभी क्षेत्रों का योग]
E --> E2[केवल A = A - उभयनिष्ठ]
वेन आरेख तर्कशक्ति का एक सरल और व्यावहारिक विषय है जो समुच्चयों के संबंधों को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है। इस अध्याय में हमने पूर्ण, आंशिक और असंबद्ध संबंधों को पहचानना, शब्दों से आरेख बनाना, दिए गए आरेख से शब्द-समूह चुनना और तीन समुच्चयों की गणना सीखी। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में वेन आरेख के प्रश्न कम समय में हल किए जा सकते हैं। उभयनिष्ठ भाग और केवल क्षेत्रों की सही गणना ही इस विषय की कुंजी है। नियमित अभ्यास से इस विषय में पूर्ण अंक प्राप्त करना संभव है।