सीमा (Limit) और अवकलज (Derivative) कैलकुलस की आधारशिला हैं, जो गणित की सबसे शक्तिशाली शाखाओं में से है। कैलकुलस के आविष्कार का श्रेय न्यूटन और लाइबनिट्ज़ को जाता है। सीमा की संकल्पना परिवर्तन की दर, स्पर्श रेखा और क्षेत्रफल जैसी अवधारणाओं को समझने में सहायता करती है। जब एक चर किसी निश्चित मान की ओर अग्रसर होता है, तो फलन का मान किस सीमा की ओर अग्रसर होता है, यही सीमा कहलाती है। अवकलज परिवर्तन की तात्कालिक दर को दर्शाता है।
फलन $f(x)$ के लिए, जब x, a की ओर अग्रसर होता है (परंतु a के बराबर नहीं), तो $f(x)$ का मान एक निश्चित संख्या L की ओर अग्रसर होता है। इसे लिखते हैं: $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
यहाँ x के a के निकट (दाएँ और बाएँ दोनों ओर से) पहुँचने पर $f(x)$ का मान L के निकट पहुँचता है।
$\lim_{x \to 2} (x^2 + 1)$: जब x, 2 के निकट जाता है, तो $x^2 + 1$ का मान 5 के निकट जाता है, अतः सीमा 5 है।
मान लीजिए $\lim_{x \to a} f(x) = L$ और $\lim_{x \to a} g(x) = M$:
$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$$ $$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$$ $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$$ $$\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{L}{M},\; M \neq 0$$ $$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot L$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$$ $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
इन सूत्रों में x रेडियन माप में होता है। ये सूत्र अवकलन की नींव हैं।
सीधे मान प्रतिस्थापित करें। यदि $\frac{0}{0}$ या $\frac{\infty}{\infty}$ जैसा अनिर्धारित रूप मिले, तो अन्य विधि प्रयोग करें।
$$ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 $$
वर्गमूल युक्त व्यंजकों में अंश व हर में संयुग्मी से गुणा करें।
फलन $f(x)$ का अवकलज (प्रथम सिद्धांत से): $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$
अवकलज का ज्यामितीय अर्थ: किसी बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा का ढाल। भौतिक अर्थ: परिवर्तन की तात्कालिक दर।
$$\frac{d}{dx}(c) = 0$$ $$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$$ $$\frac{d}{dx}(sin\,x) = cos\,x$$ $$\frac{d}{dx}(cos\,x) = -sin\,x$$ $$\frac{d}{dx}(tan\,x) = sec^2\,x$$ $$\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$$
मान लीजिए $f$ और $g$ अवकलनीय फलन हैं: $$\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[cf(x)] = c \cdot f'(x)$$
$$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$$
$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$
| सीमा | मान |
|---|---|
| lim (sin x)/x, x→0 | 1 |
| lim (tan x)/x, x→0 | 1 |
| lim (1 - cos x)/x², x→0 | 1/2 |
| फलन | अवकलज |
|---|---|
| xⁿ | nx^(n-1) |
| sin x | cos x |
| cos x | -sin x |
| tan x | sec²x |
| eˣ | eˣ |
सीमा और अवकलज कैलकुलस की नींव हैं, जो परिवर्तन और गति का गणितीय अध्ययन प्रदान करते हैं। सीमाओं के नियम, मानक सीमाएँ, अवकलन के सूत्र तथा गुणनफल और भागफल नियम इस अध्याय के प्रमुख विषय हैं। अवकलज भौतिकी में वेग, त्वरण और अनेक प्राकृतिक घटनाओं की दरों को मापता है। यह अध्याय कक्षा 12 के अवकलन, समाकलन और अवकल समीकरणों के लिए ठोस आधार तैयार करता है।