विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.11 आयु गणना विषय-वस्तु: आयु संबंधी समीकरण, अनुपात विधि
आयु गणना अंकगणित का वह अध्याय है जिसमें व्यक्तियों की वर्तमान, भूतकालीन तथा भविष्य की आयु को समीकरणों या अनुपात के माध्यम से ज्ञात किया जाता है। इस अध्याय के प्रश्न रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में लगभग नियमित रूप से पूछे जाते हैं। इन्हें हल करने के लिए केवल सरल रैखिक समीकरणों का ज्ञान आवश्यक है।
आयु के प्रश्नों का सबसे महत्वपूर्ण नियम यह है कि दो व्यक्तियों की आयु का अंतर सदैव स्थिर रहता है, चाहे कितने भी वर्ष बीत जाएं। वर्तमान आयु x वर्ष हो तो t वर्ष पहले आयु (x−t) वर्ष और t वर्ष बाद आयु (x+t) वर्ष होगी। यही दो अवधारणाएँ इस पूरे अध्याय का आधार हैं।
इस अध्याय में प्रश्न मुख्यतः दो प्रकार से हल किए जाते हैं — (क) समीकरण विधि, जिसमें दी गई शर्तों से समीकरण बनाए जाते हैं, और (ख) अनुपात विधि, जिसमें आयु को अनुपात के गुणक के रूप में मानकर हल किया जाता है। अनुपात विधि अधिक शीघ्र तथा सरल होती है, विशेषकर तब जब प्रश्न में अनुपात दिया गया हो।
समीकरण विधि में वर्तमान आयु को चर (जैसे x) मानकर दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाए जाते हैं। कुछ महत्वपूर्ण बिंदु:
उदाहरण 1 (मूल): पिता और पुत्र की आयु का योग 60 वर्ष है। 5 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की चार गुनी होगी। पिता की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: माना पुत्र की आयु x है, तो पिता की आयु 60 − x। 5 वर्ष बाद: 60 − x + 5 = 4(x + 5)। 65 − x = 4x + 20, 5x = 45, x = 9। पिता की आयु = 60 − 9 = 51 वर्ष।
उदाहरण 2 (भूतकाल): 10 वर्ष पहले पिता और पुत्र की आयु का अनुपात 4 : 1 था। वर्तमान में उनकी आयु का योग 40 वर्ष है। पिता की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: माना 10 वर्ष पहले पुत्र की आयु x, पिता की 4x। वर्तमान आयु 4x + 10 और x + 10। योग = 5x + 20 = 40, x = 4। पिता की आयु = 16 + 10 = 26 वर्ष।
उदाहरण 3 (अंतर स्थिर): पिता की आयु 40 वर्ष और पुत्र की आयु 10 वर्ष है। कितने वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी हो जाएगी? हल: माना x वर्ष बाद। 40 + x = 3(10 + x), 40 + x = 30 + 3x, 2x = 10, x = 5 वर्ष।
उदाहरण 4 (व्यावहारिक): एक व्यक्ति की आयु उसके पुत्र की आयु की 6 गुनी है। 4 वर्ष बाद उसकी आयु पुत्र की आयु की 4 गुनी होगी। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: माना पुत्र की आयु x, पिता की 6x। 4 वर्ष बाद: 6x + 4 = 4(x + 4), 6x + 4 = 4x + 16, 2x = 12, x = 6 वर्ष।
उदाहरण 5 (योग): 5 वर्ष बाद माता की आयु 40 वर्ष होगी और 8 वर्ष बाद पुत्री की आयु 20 वर्ष। वर्तमान में उनकी आयु का योग कितना है? हल: माता की वर्तमान आयु = 40 − 5 = 35, पुत्री की = 20 − 8 = 12। योग = 35 + 12 = 47 वर्ष।
जब प्रश्न में आयु का अनुपात दिया होता है, तो आयु को अनुपात के गुणक (जैसे ax और bx) के रूप में माना जाता है। फिर दी गई शर्त से समीकरण बनाकर x का मान ज्ञात किया जाता है।
उदाहरण 6 (अनुपात): दो व्यक्तियों की आयु का अनुपात 3 : 5 है। 8 वर्ष बाद अनुपात 5 : 7 होगा। छोटे व्यक्ति की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: वर्तमान आयु = 3x और 5x। 8 वर्ष बाद: (3x+8)/(5x+8) = 5/7। 7(3x+8) = 5(5x+8), 21x + 56 = 25x + 40, 4x = 16, x = 4। छोटी आयु = 3 × 4 = 12 वर्ष।
उदाहरण 7 (अनुपात): पिता और पुत्र की वर्तमान आयु का अनुपात 7 : 2 है। 8 वर्ष बाद अनुपात 9 : 4 होगा। पिता की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: 7x और 2x। (7x+8)/(2x+8) = 9/4। 4(7x+8) = 9(2x+8), 28x + 32 = 18x + 72, 10x = 40, x = 4। पिता की आयु = 7 × 4 = 28 वर्ष।
उदाहरण 8 (अंतर): माता की आयु पुत्र की आयु से 26 वर्ष अधिक है। उनकी आयु का अनुपात 15 : 2 है। पुत्र की आयु ज्ञात कीजिए। हल: आयु = 15x और 2x। 15x − 2x = 26, 13x = 26, x = 2। पुत्र की आयु = 2 × 2 = 4 वर्ष।
उदाहरण 9 (अनुपात): 6 वर्ष पहले पिता और पुत्र की आयु का अनुपात 3 : 1 था। वर्तमान में पिता की आयु 36 वर्ष है। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: 6 वर्ष पहले पिता = 30 वर्ष। अनुपात 3 : 1 से पुत्र = 10 वर्ष। वर्तमान पुत्र = 10 + 6 = 16 वर्ष।
उदाहरण 10 (अनुपात): दादा और पोते की आयु का अंतर 60 वर्ष है। उनकी आयु का अनुपात 16 : 4 है। दादा की आयु ज्ञात कीजिए। हल: 16x − 4x = 60, 12x = 60, x = 5। दादा की आयु = 16 × 5 = 80 वर्ष।
कुछ प्रश्नों में दो अलग-अलग समयों के अनुपात या तीन व्यक्तियों की आयु होती है। ऐसे प्रश्नों में भी अंतर स्थिर रहने के नियम से समीकरण बनाए जाते हैं।
उदाहरण 11 (तीन व्यक्ति): A की आयु B की आयु की दुगुनी है और C की आयु B की आयु से 6 वर्ष अधिक है। यदि A, B और C की आयु का योग 54 वर्ष है, तो A की आयु ज्ञात कीजिए। हल: माना B = x, A = 2x, C = x + 6। योग = 2x + x + x + 6 = 54, 4x = 48, x = 12। A की आयु = 24 वर्ष।
उदाहरण 12 (जन्म वर्ष): एक व्यक्ति की वर्तमान आयु (वर्ष 2026) 36 वर्ष है। उसका जन्म किस वर्ष हुआ? हल: जन्म वर्ष = 2026 − 36 = 1990।
उदाहरण 13 (भिन्न): पिता की आयु का 1/4 भाग पुत्र की आयु के 1/3 भाग के बराबर है। पुत्र की आयु 12 वर्ष है, पिता की आयु ज्ञात कीजिए। हल: (1/4) × पिता = (1/3) × 12 = 4। पिता की आयु = 4 × 4 = 16 वर्ष।
उदाहरण 14 (मिश्रित): 10 वर्ष बाद एक व्यक्ति की आयु का आधा भाग 8 वर्ष पहले की आयु के 2/3 भाग के बराबर है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: माना वर्तमान आयु x। (x+10)/2 = (2/3)(x−8)। 3(x+10) = 4(x−8), 3x + 30 = 4x − 32, x = 62 वर्ष।
उदाहरण 15 (अनुपात): A और B की वर्तमान आयु का अनुपात 2 : 3 है। 6 वर्ष बाद यह अनुपात 3 : 4 होगा। B की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। हल: (2x+6)/(3x+6) = 3/4। 4(2x+6) = 3(3x+6), 8x + 24 = 9x + 18, x = 6। B की आयु = 3 × 6 = 18 वर्ष।
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| वर्तमान आयु | x वर्ष |
| t वर्ष पहले | x − t |
| t वर्ष बाद | x + t |
| आयु का अंतर | सदैव स्थिर |
| दो व्यक्तियों का योग | x + y |
| अनुपात a : b | ax तथा bx |
| प्रश्न का प्रकार | विधि |
|---|---|
| आयु का योग/अंतर दिया हो | समीकरण विधि |
| अनुपात तथा वर्ष दिया हो | अनुपात विधि (ax, bx) |
| अनुपात व अंतर दोनों | अनुपात विधि |
| जन्म वर्ष पूछा हो | वर्तमान वर्ष − आयु |
| तीन व्यक्ति हों | योग से चर घटाएं |
flowchart TD
A[2.11 आयु गणना] --> B[समीकरण विधि]
A --> C[अनुपात विधि]
A --> D[मिश्रित प्रश्न]
B --> B1[x, x−t, x+t]
B --> B2[आयु का अंतर स्थिर]
C --> C1[ax और bx]
C --> C2[शर्त से x ज्ञात]
D --> D1[तीन व्यक्ति]
D --> D2[जन्म वर्ष]
आयु गणना के प्रश्न रैखिक समीकरणों तथा अनुपात पर आधारित होते हैं, जिनमें दो व्यक्तियों की आयु का अंतर सदैव स्थिर रहता है। वर्तमान आयु को चर मानकर 'वर्ष पहले' और 'वर्ष बाद' की शर्तों से समीकरण बनाने पर तथा अनुपात विधि में गुणक x का उपयोग करने पर सभी प्रश्न सरलतापूर्वक हल हो जाते हैं। नियमित अभ्यास से रेलवे ग्रुप D में इस अध्याय के पूर्ण अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।