विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (संख्या पद्धति) अध्याय: 1.7 सरलीकरण विषय-वस्तु: सरलीकरण के नियम, अनुक्रम, प्रश्न हल करने की तकनीक
सरलीकरण गणितीय व्यंजकों को BODMAS नियम के अनुसार सरल रूप में बदलने की प्रक्रिया है। इसमें कोष्ठक, घात, भाग, गुणा, जोड़ और घटाव का निश्चित क्रम अपनाया जाता है। रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में सरलीकरण से निश्चित संख्या में प्रश्न पूछे जाते हैं, जो अधिकतर शीघ्र हल होने वाले होते हैं, बशर्ते नियमों की सटीक जानकारी हो।
सरलीकरण के प्रश्नों में सामान्यतः पूर्णांक, दशमलव, भिन्न और बीजीय सर्वसमिकाओं का मिश्रण रहता है। इन प्रश्नों का मुख्य उद्देश्य उम्मीदवार की गणना गति तथा संक्रियाओं के क्रम की समझ का परीक्षण करना है। इसलिए सबसे पहले BODMAS का पूर्ण ज्ञान आवश्यक है।
इस अध्याय में हम सरलीकरण के नियमों और अनुक्रम, भिन्न-दशमलव मिश्रित व्यंजकों को हल करने की तकनीक, बीजीय सर्वसमिकाओं से सरलीकरण तथा रेलवे परीक्षा स्तर के हल सहित प्रश्नों का अध्ययन करेंगे। साथ ही तीव्र गणना के उपायों पर विशेष ध्यान देंगे।
सरलीकरण का आधार नियम VBODMAS है: V (रेखा), B (कोष्ठक), O (Of), D (भाग), M (गुणा), A (जोड़), S (घटाव)। कोष्ठक हटाते समय सबसे भीतर वाले कोष्ठक से प्रारंभ करें। समान स्तर की संक्रियाएँ बाएँ से दाएँ हल की जाती हैं।
हल सहित उदाहरण: 1. 50 − [20 − {15 − (10 − 5)}] हल कीजिए। हल: (10 − 5) = 5; {15 − 5} = 10; [20 − 10] = 10; अंत में 50 − 10 = 40। 2. 16 ÷ 4 × 2 + 8 − 3 हल कीजिए। हल: 16 ÷ 4 = 4; 4 × 2 = 8; 8 + 8 = 16; 16 − 3 = 13। 3. 6 + 4² − 10 ÷ 2 हल कीजिए। हल: 4² = 16; 10 ÷ 2 = 5; तब 6 + 16 = 22; 22 − 5 = 17। 4. 24 ÷ (8 − 4) × 3 + 2 हल कीजिए। हल: (8 − 4) = 4; 24 ÷ 4 = 6; 6 × 3 = 18; 18 + 2 = 20।
भिन्न तथा दशमलव सम्मिलित होने पर पहले उन्हें एक समान रूप में बदलें। या तो सभी को भिन्न रूप में बदलें या सभी को दशमलव रूप में; फिर BODMAS क्रम में संक्रियाएँ करें। दशमलव बिंदु के स्थान पर विशेष ध्यान दें।
हल सहित उदाहरण: 1. 3/4 + 5/6 − 1/2 हल कीजिए। हल: LCM(4, 6, 2) = 12; 9/12 + 10/12 − 6/12 = 13/12। 2. 2.5 × (1.2 + 0.8) ÷ 2 हल कीजिए। हल: (1.2 + 0.8) = 2; 2.5 × 2 = 5; 5 ÷ 2 = 2.5। 3. 1\frac{1}{2} + 3\frac{1}{2} हल कीजिए। हल: 3/2 + 7/2 = 10/2 = 5। 4. (3/5) ÷ (9/10) + 1/2 हल कीजिए। हल: (3/5) × (10/9) = 30/45 = 2/3; 2/3 + 1/2 = (4 + 3)/6 = 7/6। 5. 0.6 + 0.4 × 2 − 0.5 हल कीजिए। हल: 0.4 × 2 = 0.8; 0.6 + 0.8 = 1.4; 1.4 − 0.5 = 0.9।
कुछ सरलीकरण प्रश्न बीजीय सर्वसमिकाओं पर आधारित होते हैं, जिनमें सामान्य संक्रिया की अपेक्षा सूत्र का सीधा प्रयोग शीघ्र उत्तर देता है। मुख्य सर्वसमिकाएँ निम्न हैं:
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
जब भिन्न के अंश और हर में समान गुणनखंड हो तो उसे काटकर (cancel) सरल करें।
हल सहित उदाहरण: 1. 47² − 43² का मान ज्ञात कीजिए। हल: (47 + 43)(47 − 43) = 90 × 4 = 360। 2. 102² की गणना कीजिए। हल: (100 + 2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404। 3. (a² − 9)/(a − 3) को सरल कीजिए। हल: (a − 3)(a + 3)/(a − 3) = a + 3। 4. 15² − 14² ज्ञात कीजिए। हल: (15 + 14)(15 − 14) = 29 × 1 = 29। 5. 25 × 25 − 24 × 24 ज्ञात कीजिए। हल: 25² − 24² = (25 + 24)(25 − 24) = 49।
सरलीकरण के अनुक्रम और नियम | अनुक्रम | संक्रिया | महत्वपूर्ण बिंदु | | --- | --- | --- | | V | रेखा (Vinculum) | सबसे पहले हल करें | | B | कोष्ठक | भीतर से बाहर की ओर | | O | Of | सामान्य गुणा से पहले | | D | भाग | बाएँ से दाएँ | | M | गुणा | बाएँ से दाएँ | | A | जोड़ | बाएँ से दाएँ | | S | घटाव | बाएँ से दाएँ |
महत्वपूर्ण बीजीय सर्वसमिकाएँ | सर्वसमिका | विस्तार | | --- | --- | | (a + b)² | a² + 2ab + b² | | (a − b)² | a² − 2ab + b² | | a² − b² | (a + b)(a − b) | | (a + b)³ | a³ + b³ + 3ab(a + b) | | a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | | a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
flowchart TD
A[सरलीकरण] --> B[VBODMAS क्रम]
A --> C[भिन्न और दशमलव]
A --> D[बीजीय सर्वसमिकाएँ]
B --> E[रेखा पहले]
B --> F[कोष्ठक भीतर से]
B --> G[Of फिर भाग-गुणा]
B --> H[अंत में जोड़-घटाव]
C --> I[समान हर बनाएँ]
D --> J[a² − b² = (a+b)(a−b)]
सरलीकरण रेलवे ग्रुप D परीक्षा के सबसे अधिक अंकदायी विषयों में से एक है, क्योंकि इसके प्रश्न सरल होते हैं और नियमों के सही प्रयोग से शीघ्र हल हो जाते हैं। BODMAS का क्रम, भिन्न-दशमलव की संक्रियाएँ तथा बीजीय सर्वसमिकाओं की पकड़ ही इस विषय में सफलता की कुंजी है। नियमित अभ्यास से गति एवं शुद्धता में निरंतर वृद्धि होती है, जिससे परीक्षा में समय की बचत होती है।