विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (त्रिकोणमिति और सांख्यिकी) अध्याय: 5.1 त्रिकोणमितीय अनुपात विषय-वस्तु: sin cos tan आदि अनुपात, मानक कोण
त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जो त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच के संबंधों का अध्ययन करती है। रेलवे ग्रुप D परीक्षा में त्रिकोणमिति के प्रश्न प्रायः बहुत सरल स्तर के होते हैं, जिनमें मुख्यतः त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषा, मानक कोणों के मान और उनसे जुड़ी सरल गणनाएँ पूछी जाती हैं। इस अध्याय को अच्छी तरह समझ लेने पर ऊँचाई और दूरी के प्रश्न भी आसानी से हल हो जाते हैं, क्योंकि वे सीधे तौर पर इसी ज्ञान पर आधारित होते हैं।
त्रिकोणमिति में किसी समकोण त्रिभुज के किसी न्यून कोण के संबंध में छह अनुपातों का अध्ययन किया जाता है। ये अनुपात कोण के सापेक्ष त्रिभुज की भुजाओं की स्थिति पर निर्भर करते हैं, न कि त्रिभुज के आकार पर। अर्थात यदि कोण का माप समान रहे और त्रिभुज बड़ा या छोटा कर दिया जाए, तब भी उस कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात अपरिवर्तित रहते हैं। यही गुण त्रिकोणमिति को ऊँचाई, दूरी, कोण आदि की माप के लिए उपयोगी बनाता है।
इस अध्याय में हम सबसे पहले समकोण त्रिभुज की भुजाओं के नामकरण को समझेंगे, फिर छह त्रिकोणमितीय अनुपातों की परिभाषाएँ याद करेंगे और अंत में 0°, 30°, 45°, 60° तथा 90° जैसे मानक कोणों के मानों की तालिका को सीखेंगे। परीक्षा में मानक कोणों की तालिका से सीधे मान पूछे जाने वाले प्रश्न सबसे सामान्य हैं, अतः इस तालिका को रटने की आवश्यकता है।
मान लीजिए किसी समकोण त्रिभुज में कोण θ (थीटा) किसी शीर्ष पर स्थित है। इस कोण के सापेक्ष:
इन्हीं भुजाओं के आधार पर छह त्रिकोणमितीय अनुपात निम्न प्रकार परिभाषित हैं:
याद रखने की युक्ति: "पापी को कु छोटे" अर्थात P/H, B/H, P/B। लोकप्रिय हिंदी युक्ति है "ल काबा" – लंब/कर्ण = sin, आधार/कर्ण = cos, लंब/आधार = tan।
महत्वपूर्ण संबंध: - tan θ = sin θ / cos θ - cot θ = cos θ / sin θ - sin θ × cosec θ = 1 - cos θ × sec θ = 1 - tan θ × cot θ = 1
हल उदाहरण 1: किसी समकोण त्रिभुज में लंब = 3, आधार = 4 और कर्ण = 5 है। sin θ, cos θ तथा tan θ के मान ज्ञात कीजिए।
हल उदाहरण 2: यदि sin θ = 4/5 हो तो cos θ का मान ज्ञात कीजिए।
परीक्षा में मुख्यतः 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के मान पूछे जाते हैं। इन्हें निम्न तालिका से याद रखें:
याद करने की युक्ति: sin के मान √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 क्रमशः 0°, 30°, 45°, 60°, 90° के लिए अर्थात 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1। cos के मान इसके विपरीत क्रम में लिखे जाते हैं। tan = sin/cos से प्राप्त होता है।
हल उदाहरण 3: 2 sin 30° + 3 cos 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल उदाहरण 4: sin 45° × cos 45° + tan 45° का मान ज्ञात कीजिए।
हल उदाहरण 5: tan 60° ÷ tan 30° का मान ज्ञात कीजिए।
हल उदाहरण 6: sin 30° + sin 60° का मान ज्ञात कीजिए।
हल उदाहरण 7: यदि sin A = 1/2 हो और A न्यून कोण हो, तो tan A ज्ञात कीजिए।
| कोण | sin | cos | tan | cosec | sec | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित |
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 | 2 | 2/√3 | √3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2/√3 | 2 | 1/√3 |
| 90° | 1 | 0 | अपरिभाषित | 1 | अपरिभाषित | 0 |
| मूल अनुपात | व्युत्क्रम | संबंधित अनुपात |
|---|---|---|
| sin θ = L/K | cosec θ = K/L | sin × cosec = 1 |
| cos θ = A/K | sec θ = K/A | cos × sec = 1 |
| tan θ = L/A | cot θ = A/L | tan × cot = 1 |
| tan θ | – | tan = sin/cos |
| cot θ | – | cot = cos/sin |
flowchart TD
A[5.1 त्रिकोणमितीय अनुपात] --> B[समकोण त्रिभुज]
B --> C[लंब आधार कर्ण]
A --> D[छह अनुपात]
D --> E[sin cos tan]
D --> F[cosec sec cot]
A --> G[मानक कोण 0 30 45 60 90]
G --> H[sin मान √0/2 से √4/2 तक]
A --> I[पूरक कोण]
I --> J[sin θ = cos 90-θ]
A --> K[व्युत्क्रम संबंध]
K --> L[tan x cot = 1]
त्रिकोणमितीय अनुपात रेलवे ग्रुप D गणित का एक पूर्ण अंक दिलाने वाला विषय है। समकोण त्रिभुज में लंब, आधार और कर्ण की सही पहचान के बाद छह अनुपातों की परिभाषा तथा मानक कोणों की तालिका याद होते ही इस अध्याय के लगभग सभी प्रश्न हल हो जाते हैं। तालिका को रटने के बजाय √0/2 से √4/2 वाली युक्ति से sin के मान प्राप्त करने की आदत बनाएँ, और व्युत्क्रम संबंधों (sin × cosec = 1 आदि) पर दृढ़ पकड़ रखें। पूरक कोणों के नियमों को समझ लेने से उच्च कठिनाई वाले प्रश्न भी सरल बन जाते हैं। अगले अध्याय में इन्हीं अनुपातों पर आधारित सर्वसमिकाओं का अध्ययन किया जाएगा, जो इसी आधार का विस्तार है।