विषय: रेलवे NTPC – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.3 रैखिक समीकरण विषय-वस्तु: एक-दो चर रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण वह समीकरण है जिसमें चर की अधिकतम घात 1 होती है। जैसे 2x + 3 = 11 एक रैखिक समीकरण है। रेलवे NTPC परीक्षा में एक चर और दो चर वाले रैखिक समीकरणों से नियमित रूप से प्रश्न पूछे जाते हैं। इन प्रश्नों में चर का मान ज्ञात करना, दो समीकरणों को हल करके x और y का मान निकालना तथा शब्द समस्याओं को समीकरण में बदलकर हल करना शामिल है।
एक चर वाला रैखिक समीकरण ax + b = c के रूप का होता है, जबकि दो चर वाला रैखिक समीकरण ax + by = c के रूप का होता है। दो चर वाले समीकरण को हल करने के लिए कम से कम दो अलग-अलग समीकरणों की आवश्यकता होती है, जिन्हें विलोपन या प्रतिस्थापन विधि से हल किया जाता है। NTPC में दोनों विधियों के प्रश्न आते हैं।
इस अध्याय में हम समीकरण को हल करने के चरण, विलोपन विधि, प्रतिस्थापन विधि, पार-गुणन विधि तथा शब्द समस्याओं को समीकरण में बदलने की कला सीखेंगे। प्रत्येक अवधारणा के साथ हल किए गए उदाहरण दिए गए हैं। अंत में त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ, माइंड मैप, आरेख, सामान्य गलतियाँ और परीक्षा युक्तियाँ प्रस्तुत हैं।
एक चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने का मुख्य सिद्धांत है: चर को एक तरफ ले जाओ और अचर को दूसरी तरफ। संक्रिया पक्ष बदलने पर चिह्न बदल जाता है; जोड़ घटाव बन जाता है और घटाव जोड़, गुणा भाग बन जाता है और भाग गुणा।
हल करने के चरण: 1. भिन्न हों तो उन्हें समाप्त करें या हरों का लघुत्तम समापवर्त्य लेकर गुणा करें। 2. कोष्ठक हों तो उन्हें खोलें। 3. चर वाले पद एक ओर और अचर दूसरी ओर ले जाएँ। 4. दोनों पक्षों को सरल करें और अंत में चर का गुणांक पार करें।
उदाहरण 1: 2x + 3 = 11 को हल कीजिए।
हल: 3 को दूसरी ओर ले जाने पर: 2x = 11 - 3 = 8। अतः x = 8 ÷ 2 = 4। जाँच: 2 × 4 + 3 = 11।
उदाहरण 2: 5x - 7 = 3x + 9 को हल कीजिए।
हल: 3x को बाएँ और -7 को दाएँ ले जाते हैं: 5x - 3x = 9 + 7, अर्थात 2x = 16, अतः x = 8।
उदाहरण 3: x/3 + 2 = 5 को हल कीजिए।
हल: x/3 = 5 - 2 = 3, अतः x = 3 × 3 = 9।
उदाहरण 4: (2x - 1)/3 = (x + 1)/2 को हल कीजिए।
हल: पार-गुणन करने पर: 2(2x - 1) = 3(x + 1), अर्थात 4x - 2 = 3x + 3, अतः x = 5।
उदाहरण 5: 3(x - 2) + 4 = 13 को हल कीजिए।
हल: 3x - 6 + 4 = 13, अर्थात 3x - 2 = 13, अतः 3x = 15, इसलिए x = 5।
उदाहरण 6: 7 = 3x - 5 में x का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 3x = 7 + 5 = 12, अतः x = 4।
दो चर वाले समीकरण ax + by = c के रूप में होते हैं। इन्हें हल करने के लिए दो समीकरण चाहिए। मुख्य विधियाँ तीन हैं: विलोपन, प्रतिस्थापन और पार-गुणन।
विलोपन विधि (Elimination Method): किसी एक चर के गुणांकों को समान करके दोनों समीकरणों को जोड़ते या घटाते हैं ताकि वह चर विलुप्त हो जाए और एक चर का समीकरण मिल जाए।
प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method): एक समीकरण से एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करके दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
पार-गुणन विधि: सूत्र के प्रयोग से सीधे x और y के मान प्राप्त होते हैं, परंतु NTPC में विलोपन विधि सबसे सुविधाजनक रहती है।
उदाहरण 7: x + y = 10 और x - y = 4 को हल कीजिए।
हल (विलोपन): दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2x = 14, अतः x = 7। अब x = 7 पहले समीकरण में रखने पर: 7 + y = 10, अतः y = 3। हल: x = 7, y = 3।
उदाहरण 8: 2x + 3y = 11 और 3x + 2y = 9 को हल कीजिए।
हल: पहले को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करके y के गुणांक समान करते हैं: 4x + 6y = 22 और 9x + 6y = 27। दूसरे में से पहला घटाने पर: 5x = 5, अतः x = 1। x = 1 रखने पर: 2 + 3y = 11, अतः y = 3। हल: x = 1, y = 3।
उदाहरण 9: x + 2y = 8 और 2x - y = 1 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।
हल: पहले समीकरण से x = 8 - 2y। दूसरे में रखने पर: 2(8 - 2y) - y = 1, अर्थात 16 - 4y - y = 1, अतः -5y = -15, y = 3। अब x = 8 - 6 = 2। हल: x = 2, y = 3।
उदाहरण 10: 5x + y = 12 और x - 3y = -4 को हल कीजिए।
हल: पहले से y = 12 - 5x। दूसरे में रखने पर: x - 3(12 - 5x) = -4, अर्थात x - 36 + 15x = -4, अतः 16x = 32, x = 2। फिर y = 12 - 10 = 2। हल: x = 2, y = 2।
उदाहरण 11: 3x + 4y = 10 और 6x + 8y = 20 के कितने हल होंगे?
हल: दूसरा समीकरण पहले का गुणज है (दोनों पक्ष 2 से गुणा किए गए हैं), अतः समीकरण संगत और आश्रित हैं। इनके अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे।
उदाहरण 12: 2x - 3y = 8 और 4x - 6y = 5 के कितने हल होंगे?
हल: दोनों में x और y के गुणांकों का अनुपात समान (2:4 = 3:6) परंतु अचर पदों का अनुपात भिन्न है, अतः रेखाएँ समांतर होंगी और इनका कोई हल नहीं होगा।
शब्द समस्याओं को हल करने का सबसे महत्वपूर्ण कदम है कथन को सही समीकरण में बदलना। इसके लिए अज्ञात राशि को x या y मान लें और दी गई शर्तों के अनुसार समीकरण बनाएँ।
उदाहरण 13: किसी संख्या का तिगुना उसमें 8 जोड़ने पर प्राप्त योग से 4 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: माना संख्या x है। प्रश्नानुसार 3x = x + 8 + 4 = x + 12। अतः 2x = 12, x = 6।
उदाहरण 14: दो संख्याओं का योग 45 है और उनका अंतर 15 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल: माना संख्याएँ x और y हैं। x + y = 45, x - y = 15। जोड़ने पर 2x = 60, x = 30, तथा y = 15। संख्याएँ 30 और 15 हैं।
उदाहरण 15: किसी संख्या का 40% उस संख्या के 25% से 15 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: 0.40x - 0.25x = 15, अर्थात 0.15x = 15, अतः x = 100।
उदाहरण 16: एक पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 10 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की दो गुनी होगी। पुत्र की वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल: माना पुत्र की आयु x है, तो पिता की 3x। 10 वर्ष बाद: 3x + 10 = 2(x + 10), अर्थात 3x + 10 = 2x + 20, अतः x = 10। पुत्र की आयु 10 वर्ष है।
उदाहरण 17: एक संख्या के दुगुने में से 5 घटाने पर 11 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: 2x - 5 = 11, अतः 2x = 16, x = 8।
उदाहरण 18: किसी परीक्षा में कुल अंक 100 हैं। किसी छात्र को गणित में 45 और विज्ञान में x अंक मिले। यदि कुल 82 अंक हों तो विज्ञान में कितने अंक मिले?
हल: 45 + x = 82, अतः x = 37।
उदाहरण 19: तीन क्रमागत संख्याओं का योग 42 है। सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: माना संख्याएँ x, x + 1, x + 2 हैं। 3x + 3 = 42, अतः 3x = 39, x = 13।
उदाहरण 20: 5 पेन और 3 किताबों का मूल्य 145 रुपये है। एक किताब का मूल्य 35 रुपये है। एक पेन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल: 5x + 3 × 35 = 145, अर्थात 5x + 105 = 145, 5x = 40, अतः x = 8 रुपये।
| गुणांक अनुपात | स्थिति | हल |
|---|---|---|
| a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ | प्रतिच्छेदी रेखाएँ | अद्वितीय हल |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ | संपाती रेखाएँ | अपरिमित हल |
| a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ | समांतर रेखाएँ | कोई हल नहीं |
| विधि | प्रक्रिया | उपयुक्तता |
|---|---|---|
| विलोपन | गुणांक समान कर जोड़ना/घटाना | गुणांक सरल हों |
| प्रतिस्थापन | एक चर को दूसरे में व्यक्त करना | कोई गुणांक 1 हो |
| पार-गुणन | सीधा सूत्र लगाना | समय बचाने के लिए |
flowchart TD
A[रैखिक समीकरण] --> B[एक चर]
A --> C[दो चर]
B --> D[ax + b = c]
D --> E[चिह्न बदलकर चर अलग करें]
E --> F[अंतिम मान की जाँच]
C --> G[विलोपन विधि]
C --> H[प्रतिस्थापन विधि]
G --> I[गुणांक समान करें और जोड़ें-घटाएँ]
H --> J[एक चर व्यक्त कर प्रतिस्थापित करें]
C --> K[शब्द समस्याएँ]
K --> L[अज्ञात को x मानें]
K --> M[शर्त से समीकरण बनाएँ]
I --> N[सही मान मिलना]
J --> N
M --> N
रैखिक समीकरण NTPC गणित का एक स्थायी विषय है जिससे हर वर्ष अवश्य प्रश्न आते हैं। एक चर वाले समीकरण के हल के नियमों और दो चर वाले समीकरणों की विलोपन तथा प्रतिस्थापन विधियों में दक्षता प्राप्त करके तथा शब्द समस्याओं को समीकरण में बदलने का अभ्यास करके इस विषय पर पूर्ण पकड़ बनाई जा सकती है। नियमित अभ्यास और उत्तर-जाँच की आदत से इस अध्याय में अच्छे अंक सुनिश्चित किए जा सकते हैं।