विषय: रेलवे NTPC – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.10 चाल और ट्रेन विषय-वस्तु: ट्रेन, प्लेटफॉर्म, सापेक्ष चाल
चाल और ट्रेन अध्याय समय और दूरी के सिद्धांतों का एक विशेष अनुप्रयोग है, जिसमें ट्रेनों की लंबाई, प्लेटफॉर्म, खंभे, पुल तथा दो ट्रेनों के बीच सापेक्ष चाल संबंधी प्रश्न हल किए जाते हैं। RRB NTPC की परीक्षा में यह अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है और प्रतिवर्ष इससे दो से चार प्रश्न पूछे जाते हैं। इस अध्याय की विशेषता यह है कि यहाँ दूरी में ट्रेन की लंबाई भी शामिल होती है।
इस अध्याय को समझने की कुंजी यह है कि जब ट्रेन किसी वस्तु को पार करती है, तो तय की गई दूरी ट्रेन की लंबाई और वस्तु की लंबाई के योग के बराबर होती है। यदि ट्रेन किसी खंभे (जिसकी लंबाई नगण्य मानी जाती है) को पार करती है, तो तय की गई दूरी केवल ट्रेन की लंबाई होती है। परंतु प्लेटफॉर्म, पुल या किसी दूसरी ट्रेन को पार करते समय दोनों की लंबाइयाँ जोड़नी पड़ती हैं।
तीसरा महत्वपूर्ण पक्ष सापेक्ष चाल है। जब दो ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो उनकी सापेक्ष चाल उनकी चालों का अंतर होती है, जबकि विपरीत दिशाओं में चलने पर सापेक्ष चाल उनकी चालों का योग होती है। एक ट्रेन द्वारा दूसरी ट्रेन या प्लेटफॉर्म को पार करने में लगा समय = कुल लंबाई ÷ सापेक्ष चाल। इस अध्याय की अच्छी तैयारी के लिए इकाई परिवर्तन (5/18 और 18/5) का दक्ष ज्ञान अनिवार्य है, क्योंकि लंबाई मीटर में और चाल प्रायः किमी/घंटा में दी जाती है।
खंभे को पार करना: यदि ट्रेन की लंबाई L मीटर है और चाल v मी/से है, तो खंभे (स्थिर वस्तु) को पार करने में लगा समय = L/v। खंभे की लंबाई नगण्य मानी जाती है। यहाँ चाल को मी/से में बदलना आवश्यक है।
प्लेटफॉर्म को पार करना: यदि ट्रेन की लंबाई L मीटर और प्लेटफॉर्म की लंबाई P मीटर हो, तो प्लेटफॉर्म पार करने में तय दूरी = L + P मीटर। समय = (L + P)/v। यह अध्याय का सबसे अधिक पूछा जाने वाला प्रश्न है।
ट्रेन की लंबाई ज्ञात करना: यदि ट्रेन को खंभा पार करने का समय t1 और प्लेटफॉर्म (लंबाई P) पार करने का समय t2 दिया हो, तो दोनों समीकरणों से ट्रेन की लंबाई तथा चाल ज्ञात की जा सकती है। चाल स्थिर रहने पर, चाल = P/(t2 − t1) होती है, क्योंकि प्लेटफॉर्म पार करने में अतिरिक्त दूरी केवल P मीटर है।
सिग्नल, व्यक्ति या पेड़: किसी स्थिर व्यक्ति, पेड़, खंभे, सिग्नल आदि को पार करते समय उनकी लंबाई नगण्य मानकर केवल ट्रेन की लंबाई ही दूरी मानी जाती है। परंतु यदि व्यक्ति चल रहा हो, तो सापेक्ष चाल की अवधारणा लागू होती है जिस पर आगे विचार किया जाएगा।
विपरीत दिशा में चलती ट्रेनें: यदि दो ट्रेनें विपरीत दिशाओं में क्रमशः v1 और v2 चाल से चलती हैं, तो सापेक्ष चाल = v1 + v2। यदि दोनों की लंबाइयाँ क्रमशः L1 और L2 हों, तो एक-दूसरे को पूर्णतः पार करने में लगा समय = (L1 + L2)/(v1 + v2)।
एक ही दिशा में चलती ट्रेनें: यदि दो ट्रेनें एक ही दिशा में चलती हैं, तो सापेक्ष चाल = v1 − v2 (जहाँ v1 > v2)। तेज ट्रेन को धीमी ट्रेन को पूर्णतः पार करने में लगा समय = (L1 + L2)/(v1 − v2)। यदि केवल किसी एक ट्रेन को पार करना हो तो उसकी लंबाई ही जोड़ी जाती है।
चलते व्यक्ति को पार करना: यदि ट्रेन किसी व्यक्ति को पार करती है और व्यक्ति भी चल रहा है, तो सापेक्ष चाल का उपयोग होता है। व्यक्ति ट्रेन की दिशा में चल रहा हो तो सापेक्ष चाल = ट्रेन की चाल − व्यक्ति की चाल, और विपरीत दिशा में चल रहा हो तो = ट्रेन की चाल + व्यक्ति की चाल। यहाँ तय की गई दूरी केवल ट्रेन की लंबाई होती है।
आगे निकलना (ओवरटेकिंग): जब एक ट्रेन दूसरी चलती ट्रेन को पार करती है, तो केवल तेज ट्रेन की अगली लंबाई के धीमी ट्रेन की पिछली लंबाई के बराबर आने की स्थिति में पूर्ण पार हुआ माना जाता है। इसलिए दोनों की लंबाइयों का योग ही तय दूरी होती है।
पुल या सुरंग को पार करना: पुल या सुरंग को पार करने में तय दूरी = ट्रेन की लंबाई + पुल की लंबाई। समय = (ट्रेन + पुल) की लंबाई ÷ चाल। यह प्लेटफॉर्म के समान ही है, अतः इस पर अलग सूत्र याद रखने की आवश्यकता नहीं है।
लंबाई और चाल दोनों अज्ञात: जब ट्रेन की लंबाई और चाल दोनों ज्ञात न हों, तो दो भिन्न स्थितियों (जैसे खंभा और प्लेटफॉर्म, या दो अलग-अलग पुल) से दो समीकरण बनाकर हल किया जाता है। चाल = (दूरी अंतर)/(समय अंतर) तथा लंबाई = चाल × खंभा समय से प्राप्त होती है।
दो व्यक्तियों के बीच या मिलने के प्रश्न: कभी-कभी ट्रेन और व्यक्ति की सापेक्ष चाल से व्यक्ति की चाल ज्ञात करने को कहा जाता है। ऐसे प्रश्नों में ट्रेन की लंबाई और पार करने का समय देकर सापेक्ष चाल निकालकर व्यक्ति की चाल की गणना की जाती है।
ट्रेन की चाल में परिवर्तन: कुछ प्रश्नों में ट्रेन की चाल बदलने पर समय में परिवर्तन दिया जाता है। ऐसे में समान लंबाई के लिए चाल × समय स्थिर रहता है, अतः दोनों स्थितियों को बराबर करके लंबाई या चाल ज्ञात की जाती है। यह समय-दूरी के अनुपात नियम का ही अनुप्रयोग है।
| वस्तु | तय की गई दूरी |
|---|---|
| खंभा / व्यक्ति / पेड़ | केवल ट्रेन की लंबाई |
| प्लेटफॉर्म | ट्रेन + प्लेटफॉर्म |
| पुल / सुरंग | ट्रेन + पुल |
| विपरीत ट्रेन | ट्रेन1 + ट्रेन2 |
| समान दिशा की ट्रेन | ट्रेन1 + ट्रेन2 |
| स्थिति | सापेक्ष चाल |
|---|---|
| विपरीत दिशा में | चालों का योग |
| एक ही दिशा में | चालों का अंतर |
| चलता व्यक्ति, उसी दिशा में | ट्रेन की चाल − व्यक्ति की चाल |
| चलता व्यक्ति, विपरीत दिशा में | ट्रेन की चाल + व्यक्ति की चाल |
| समय सूत्र | कुल दूरी ÷ सापेक्ष चाल |
flowchart TD
A[2.10 चाल और ट्रेन] --> B[खंभा पार करना]
A --> C[प्लेटफॉर्म पार करना]
A --> D[पुल पार करना]
A --> E[विपरीत दिशा की ट्रेन]
A --> F[समान दिशा की ट्रेन]
A --> G[चलता व्यक्ति]
B --> H[दूरी = ट्रेन की लंबाई]
C --> I[दूरी = ट्रेन + प्लेटफॉर्म]
D --> J[दूरी = ट्रेन + पुल]
E --> K[सापेक्ष चाल = योग]
F --> L[सापेक्ष चाल = अंतर]
G --> M[चाल जोड़ें या घटाएं]
A --> N[चाल × समय = लंबाई]
चाल और ट्रेन अध्याय समय-दूरी के ज्ञान को वास्तविक परीक्षा-स्वरूप में प्रस्तुत करता है और RRB NTPC में अच्छे अंक दिलाने वाला सिद्ध होता है। खंभे के लिए केवल ट्रेन की लंबाई, प्लेटफॉर्म-पुल के लिए दोनों लंबाइयों का योग तथा सापेक्ष चाल के सही अनुप्रयोग की तीनों धारणाओं को आत्मसात करके इकाई परिवर्तन में दक्षता प्राप्त करने पर इस अध्याय के सभी प्रश्न न्यूनतम समय में हल किए जा सकते हैं। नियमित अभ्यास से यह अध्याय पूर्ण अंक प्राप्ति की दिशा में महत्वपूर्ण सहायक साबित होगा।