विषय: रेलवे NTPC – गणित (ज्यामिति और क्षेत्रमिति) अध्याय: 4.9 आयतन विषय-वस्तु: ठोसों का आयतन, धारिता
आयतन किसी ठोस (3D) आकृति द्वारा घेरे गए स्थान का माप होता है। जब हम किसी बाल्टी में पानी भरते हैं, किसी डिब्बे में सामान रखते हैं, या किसी टंकी की क्षमता पूछते हैं, तो वास्तव में हम आयतन की चर्चा कर रहे होते हैं। आयतन की इकाई घन (cubic) होती है, जैसे घन सेमी (cm³), घन मीटर (m³), घन मिलीलीटर (ml), लीटर आदि। रेलवे एनटीपीसी परीक्षा में आयतन और धारिता से जुड़े प्रश्न नियमित रूप से पूछे जाते हैं।
किसी आकृति का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई पर निर्भर करता है। घन और घनाभ का आयतन लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई के गुणनफल से मिलता है। बेलन का आयतन वृत्ताकार आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है। शंकु का आयतन समान आधार और ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक तिहाई होता है, जबकि गोले का आयतन उसकी त्रिज्या के घन पर निर्भर करता है।
धारिता (Capacity) से तात्पर्य किसी पात्र में समाने वाले द्रव या वस्तु की मात्रा से है, जो वस्तुतः उस पात्र के आयतन के बराबर होती है। धारिता को लीटर, मिलीलीटर या घन इकाइयों में मापा जाता है। 1 लीटर = 1000 घन सेमी होता है, जिसका ज्ञान धारिता के प्रश्नों को हल करने के लिए आवश्यक है। इस अध्याय में हम घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोले के आयतन के सूत्र, हल किए गए उदाहरण, धारिता रूपांतरण, तालिकाएँ तथा परीक्षा युक्तियाँ सीखेंगे।
घन, घनाभ और बेलन के आयतन के सूत्र सबसे सरल और सबसे अधिक प्रयोग किए जाने वाले सूत्र हैं:
उदाहरण 1: एक घन की भुजा 6 सेमी है। घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 2: एक घनाभ की लंबाई 12 सेमी, चौड़ाई 8 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। आयतन ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 3: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
उदाहरण 4: एक घन का आयतन 512 घन सेमी है। घन की भुजा ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 5: एक घनाभ का आयतन 240 घन सेमी है। लंबाई 12 सेमी और चौड़ाई 5 सेमी है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
जब किसी ठोस को पिघलाकर दूसरे ठोस में बदला जाता है, तो आयतन स्थिर रहता है। उदाहरण के लिए घन को पिघलाकर घनाभ बनाने पर दोनों के आयतन बराबर होते हैं। इस सिद्धांत पर आधारित प्रश्न एनटीपीसी में अक्सर पूछे जाते हैं।
शंकु, गोला और अर्धगोले के आयतन के सूत्रों में भिन्नों का ध्यान रखना आवश्यक है:
उदाहरण 6: एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
उदाहरण 7: एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। गोले का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
उदाहरण 8: एक अर्धगोले की त्रिज्या 7 सेमी है। अर्धगोले का आयतन ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 9: एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 10: एक बेलन का आयतन 1540 घन सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। बेलन की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
आयतन के प्रश्नों में त्रिज्या, ऊँचाई या व्यास में भ्रम से बचें। शंकु में ऊँचाई h ही आयतन के सूत्र में प्रयोग होती है, तिर्यक ऊँचाई l नहीं। शंकु का आयतन निकालते समय हमेशा वास्तविक ऊँचाई का उपयोग करें।
धारिता किसी पात्र की वह क्षमता है जो उसमें समा सके। द्रव की मात्रा को लीटर या मिलीलीटर में मापते हैं। आयतन और धारिता में रूपांतरण के नियम:
उदाहरण 11: एक घनाभाकार टंकी की लंबाई 2 मीटर, चौड़ाई 1 मीटर और ऊँचाई 1.5 मीटर है। टंकी की धारिता लीटर में ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 12: एक बेलनाकार गिलास की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। गिलास में कितना पानी (लीटर में) आएगा?
उदाहरण 13: एक घन की भुजा 10 सेमी है। उसका आयतन लीटर में ज्ञात कीजिए।
उदाहरण 14: एक बेलन का आयतन 3080 घन सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
आयतन से विमाएँ निकालते समय सूत्र को उलटा लगाएँ। घन की भुजा = आयतन का घनमूल, घनाभ में ऊँचाई = आयतन/(लंबाई × चौड़ाई), बेलन में त्रिज्या = √(आयतन/(π × ऊँचाई)), शंकु में त्रिज्या = √(3 × आयतन/(π × ऊँचाई))। इन उल्टे सूत्रों के प्रश्न परीक्षा में सामान्य हैं।
| ठोस | आयतन सूत्र | टिप्पणी |
|---|---|---|
| घन | a³ | a = भुजा |
| घनाभ | l × b × h | l, b, h = विमाएँ |
| बेलन | πr²h | r = त्रिज्या, h = ऊँचाई |
| शंकु | (1/3) × πr²h | बेलन के आयतन का एक तिहाई |
| गोला | (4/3) × πr³ | r = त्रिज्या |
| अर्धगोला | (2/3) × πr³ | गोले के आयतन का आधा |
| खोखला बेलन | πh(R² − r²) | R = बाहरी, r = आंतरिक त्रिज्या |
| रूपांतरण | मान |
|---|---|
| 1 लीटर | 1000 घन सेमी |
| 1 मिलीलीटर | 1 घन सेमी |
| 1 घन मीटर | 1000 लीटर |
| 1 घन मीटर | 10,00,000 घन सेमी |
| धारिता (लीटर) | आयतन (घन सेमी)/1000 |
| 1 घन सेमी पानी | 1 ग्राम (लगभग) |
flowchart TD
A[4.9 आयतन] --> B[चपटे ठोस]
A --> C[वक्र ठोस]
A --> D[धारिता]
B --> B1[घन a³]
B --> B2[घनाभ l x b x h]
C --> C1[बेलन πr²h]
C --> C2[शंकु 1/3 πr²h]
C --> C3[गोला 4/3 πr³]
C --> C4[अर्धगोला 2/3 πr³]
D --> D1[1 लीटर = 1000 घन सेमी]
D --> D2[1 घन मीटर = 1000 लीटर]
A --> E[उल्टे प्रश्न]
E --> E1[भुजा = आयतन का घनमूल]
E --> E2[त्रिज्या √(V/πh)]
E --> E3[पिघलाने पर आयतन स्थिर]
आयतन और धारिता क्षेत्रमिति का वह विषय है जिससे टंकी, पात्र, ठोस, द्रव आदि से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं। घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला और अर्धगोले के आयतन सूत्रों के साथ लीटर रूपांतरण और पिघलाने के सिद्धांत की समझ आवश्यक है। इन सूत्रों का अभ्यास और उल्टे प्रश्नों को हल करने की आदत से एनटीपीसी में इन प्रश्नों में पूर्ण अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।