विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – संख्या पद्धति विषय-वस्तु: 1.4 भिन्न
भिन्न गणित की वह मूलभूत अवधारणा है जिसमें किसी पूर्ण वस्तु को समान भागों में विभाजित कर उसके कुछ भाग को व्यक्त किया जाता है। भिन्न का रूप p/q होता है, जहाँ p अंश (numerator) तथा q हर (denominator) कहलाता है और q ≠ 0 होता है। उदाहरण के लिए 3/4 में 3 अंश तथा 4 हर है, जिसका अर्थ है पूर्ण के चार समान भागों में से तीन भाग। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में भिन्न पर आधारित प्रश्न प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से सदैव आते हैं। माप, मशीन भागों के अनुपात तथा सामग्री की मात्रा भिन्नों में ही व्यक्त की जाती है।
भिन्नों के अनेक प्रकार होते हैं — उचित भिन्न, अनुचित भिन्न, मिश्रित भिन्न, तुल्य भिन्न, इकाई भिन्न तथा दशमलव भिन्न। जिस भिन्न में अंश हर से छोटा होता है, वह उचित भिन्न कहलाती है, जैसे 2/3। जिसमें अंश हर से बड़ा या बराबर होता है, वह अनुचित भिन्न है, जैसे 7/4। मिश्रित भिन्न में पूर्णांक और उचित भिन्न का मेल होता है, जैसे 2½ अर्थात 5/2। तुल्य भिन्न वे होती हैं जिनका मान समान होता है, जैसे 1/2 = 2/4 = 3/6।
इस अध्याय में हम भिन्नों के प्रकार, उनकी तुलना, जोड़-घटाव, गुणा-भाग, मिश्रित भिन्न का रूपांतरण तथा भिन्नों पर आधारित वस्तुनिष्ठ प्रश्नों को हल करने की विधि का अध्ययन करेंगे। भिन्नों की संक्रियाओं में हर का LCM निकालना तथा सरलतम रूप में बदलना प्रमुख कौशल हैं, जिनके अभ्यास से परीक्षा में शीघ्र हल होने वाले प्रश्नों में अंक अर्जित किए जा सकते हैं।
उचित भिन्न (Proper Fraction): अंश < हर, जैसे 3/7, 5/9। इनका मान सदैव 1 से कम होता है।
अनुचित भिन्न (Improper Fraction): अंश ≥ हर, जैसे 7/4, 9/5। इनका मान 1 से बड़ा या बराबर होता है।
मिश्रित भिन्न (Mixed Fraction): पूर्णांक + उचित भिन्न, जैसे 2½। मिश्रित भिन्न को अनुचित भिन्न में बदलने का सूत्र: (पूर्णांक × हर + अंश)/हर।
तुल्य भिन्नें (Equivalent Fractions): अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर प्राप्त होती हैं। 1/2, 2/4, 4/8 सभी तुल्य भिन्नें हैं।
इकाई भिन्न (Unit Fraction): जिस भिन्न का अंश 1 हो, जैसे 1/2, 1/5।
उदाहरण 1: मिश्रित भिन्न 3¼ को अनुचित भिन्न में बदलिए।
हल: सूत्र (पूर्णांक × हर + अंश)/हर = (3 × 4 + 1)/4 = 13/4। अतः 3¼ = 13/4।
उदाहरण 2: अनुचित भिन्न 17/5 को मिश्रित भिन्न में बदलिए।
हल: 17 को 5 से भाग दें — भागफल 3, शेष 2। मिश्रित भिन्न = 3 + 2/5 = 3⅖। अतः 17/5 = 3⅖।
समान हर वाली भिन्नों की जोड़-घटाव में केवल अंशों का योग-अंतर किया जाता है और हर को यथावत रखा जाता है। भिन्न-भिन्न हर वाली भिन्नों के लिए पहले सभी हरों का LCM निकालकर समान हर बनाया जाता है।
उदाहरण 3: 2/7 + 3/7 ज्ञात कीजिए।
हल: हर समान है, अतः (2 + 3)/7 = 5/7। उत्तर 5/7 है।
उदाहरण 4: 2/3 + 1/4 ज्ञात कीजिए।
हल: 3 और 4 का LCM = 12। 2/3 = 8/12 तथा 1/4 = 3/12। योग = (8 + 3)/12 = 11/12। उत्तर 11/12 है।
उदाहरण 5: 5/6 - 1/3 ज्ञात कीजिए।
हल: 6 और 3 का LCM = 6। 5/6 = 5/6 तथा 1/3 = 2/6। अंतर = (5 - 2)/6 = 3/6 = 1/2। उत्तर 1/2 है।
भिन्नों की गुणा में अंश का अंश से तथा हर का हर से गुणा किया जाता है। भाग में दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम (reciprocal) लेकर गुणा किया जाता है। गुणा से पहले आड़ा-तिरछा (cross-cancel) करना गणना को सरल बनाता है।
उदाहरण 6: 2/3 × 9/4 ज्ञात कीजिए।
हल: (2 × 9)/(3 × 4) = 18/12 = 3/2 = 1½। अतः उत्तर 3/2 है।
उदाहरण 7: 3/4 ÷ 2/5 ज्ञात कीजिए।
हल: 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8 = 1⅞। अतः उत्तर 15/8 है।
भिन्न की तुलना: दो भिन्नों की तुलना के लिए हरों का LCM लेकर समान हर बनाएँ; जिसका अंश बड़ा, वही भिन्न बड़ी। उदाहरण — 3/4 और 5/6 में, LCM 12, 3/4 = 9/12 और 5/6 = 10/12, अतः 5/6 बड़ा है।
| प्रकार | परिभाषा | उदाहरण |
|---|---|---|
| उचित भिन्न | अंश < हर | 3/7, 5/9 |
| अनुचित भिन्न | अंश ≥ हर | 7/4, 9/5 |
| मिश्रित भिन्न | पूर्णांक + उचित भिन्न | 2½ = 5/2 |
| तुल्य भिन्नें | समान मान वाली | 1/2 = 2/4 = 4/8 |
| इकाई भिन्न | अंश = 1 | 1/2, 1/8 |
| दशमलव भिन्न | हर 10 की घात | 3/10, 25/100 |
| संक्रिया | विधि | उदाहरण |
|---|---|---|
| जोड़ | हर का LCM लेकर | 2/3 + 1/4 = 11/12 |
| घटाव | हर का LCM लेकर | 5/6 - 1/3 = 1/2 |
| गुणा | अंश×अंश, हर×हर | 2/3 × 9/4 = 3/2 |
| भाग | व्युत्क्रम लेकर गुणा | 3/4 ÷ 2/5 = 15/8 |
flowchart TD
A[भिन्न] --> B[परिभाषा p/q]
A --> C[प्रकार]
A --> D[संक्रियाएँ]
A --> E[तुलना]
C --> C1[उचित 3/7]
C --> C2[अनुचित 7/4]
C --> C3[मिश्रित 2½]
C --> C4[इकाई 1/2]
D --> D1[जोड़: LCM]
D --> D2[घटाव: LCM]
D --> D3[गुणा: अंश×अंश]
D --> D4[भाग: व्युत्क्रम]
E --> E1[समान हर बनाकर]
भिन्न गणित की सबसे व्यावहारिक अवधारणाओं में से एक है। इस अध्याय में हमने भिन्न की परिभाषा, उसके प्रकार — उचित, अनुचित, मिश्रित, तुल्य और इकाई भिन्न — तथा मिश्रित और अनुचित भिन्नों के आपसी रूपांतरण को समझा। भिन्नों की जोड़-घटाव में LCM की विधि, गुणा में अंश-हर का गुणा तथा भाग में व्युत्क्रम का प्रयोग सीखा। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में भिन्नों के प्रश्न सरल होते हैं परंतु त्रुटि-प्रवण होते हैं, अतः सावधानी और अभ्यास दोनों आवश्यक हैं। भिन्नों की दृढ़ पकड़ LCM-HCF, अनुपात-समानुपात और प्रतिशत जैसे अध्यायों में सीधी सहायता करती है।