विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: गणित – सांख्यिकी त्रिकोणमिति और विविध विषय-वस्तु: 5.6 तालिका और ग्राफ
तालिका और ग्राफ आँकड़ों को सुव्यवस्थित और समझने योग्य रूप में प्रस्तुत करने के दो प्रमुख साधन हैं। तालिका में आँकड़ों को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है, जिससे मानों की तुलना आसान हो जाती है। ग्राफ आँकड़ों को चित्रात्मक रूप में दर्शाता है, जिससे प्रवृत्ति (trend) और संबंध तुरंत दिखाई देते हैं। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की परीक्षा में इस अध्याय से 2 से 3 प्रश्न पूछे जाते हैं, जिनमें तालिका या ग्राफ दिया जाता है और उससे संबंधित मान निकालने, तुलना करने या प्रवृत्ति बताने को कहा जाता है।
तालिका की रचना में शीर्षक, स्तंभ शीर्षक, पंक्तियाँ और कुल योग जैसे तत्व शामिल होते हैं। एक अच्छी तालिका में आँकड़े स्पष्ट रूप से लेबल किए जाते हैं और इकाइयाँ स्पष्ट होती हैं। ग्राफ मुख्यतः चार प्रकार के होते हैं — दंड आलेख (bar graph), रेखा ग्राफ (line graph), आयतचित्र (histogram) और वृत्त आलेख (pie chart)। इनमें से प्रत्येक विशिष्ट प्रकार के आँकड़ों के लिए उपयुक्त है। परीक्षा में दिए गए ग्राफ को सही ढंग से पढ़ना और उससे आवश्यक जानकारी निकालना सबसे महत्वपूर्ण कौशल है।
इस अध्याय में हम तालिकाओं और ग्राफों को पढ़ने, उनसे मान निकालने और उनके आधार पर प्रश्नों का उत्तर देने की विधि सीखेंगे। हम विभिन्न प्रकार के ग्राफों की पहचान और उनके उपयोग को समझेंगे। तालिका से प्रतिशत, अनुपात, योग और अंतर निकालने के प्रश्नों का अभ्यास करेंगे। रेखा ग्राफ में ढलान और प्रवृत्ति की पहचान, दंड आलेख में दंडों की तुलना तथा वृत्त आलेख में त्रिज्यखंडों के कोणों से मान ज्ञात करना इस अध्याय की मुख्य तकनीकें हैं।
तालिकाओं में आँकड़े पंक्ति और स्तंभ के रूप में होते हैं। परीक्षा में सबसे पहले तालिका का शीर्षक और स्तंभ शीर्षक ध्यान से पढ़ना चाहिए, क्योंकि प्रश्न के उत्तर के लिए सही पंक्ति और स्तंभ की पहचान करनी होती है। तालिका से पूछे जाने वाले प्रश्न प्रायः निम्न प्रकार के होते हैं — किसी विशेष मान का पता लगाना, दो मानों का योग या अंतर, प्रतिशत वृद्धि या कमी, अनुपात, औसत तथा अधिकतम या न्यूनतम मान। इन सभी के लिए तालिका का सटीक पठन आवश्यक है।
प्रतिशत वृद्धि का सूत्र ((नया मान - पुराना मान)/पुराना मान) × 100 होता है। अनुपात ज्ञात करने के लिए दोनों मानों को उनके म.स. से भाग दिया जाता है। औसत निकालने के लिए कुल योग को संख्या से भाग देते हैं। तालिका के प्रश्नों में सबसे सामान्य गलती गलत स्तंभ से मान पढ़ना है, इसलिए प्रश्न में पूछे गए शब्दों को वर्ष, वस्तु या श्रेणी से मिलाना चाहिए। कुछ प्रश्नों में कुल योग या शेष बचे मान की गणना भी करनी होती है।
उदाहरण 1: एक कारखाने का मासिक उत्पादन (टन में) तालिका में दिया है।
| माह | जनवरी | फरवरी | मार्च | अप्रैल |
|---|---|---|---|---|
| उत्पादन | 250 | 300 | 280 | 350 |
जनवरी से फरवरी तक उत्पादन में प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
हल: वृद्धि = 300 - 250 = 50 टन।
प्रतिशत वृद्धि = (50/250) × 100 = 20%।
उदाहरण 2: उपरोक्त तालिका से चार माह का औसत उत्पादन ज्ञात कीजिए।
हल: कुल उत्पादन = 250 + 300 + 280 + 350 = 1180 टन।
औसत = 1180/4 = 295 टन।
दंड आलेख में आँकड़ों को समान चौड़ाई के दंडों द्वारा दिखाया जाता है, जिनकी ऊँचाई या लंबाई मान के समानुपाती होती है। रेखा ग्राफ में मानों को बिंदुओं द्वारा अंकित करके उन्हें रेखाओं से जोड़ा जाता है, जो समय के साथ बदलाव की प्रवृत्ति दर्शाता है। रेखा ग्राफ में ऊपर की ओर ढलान वृद्धि और नीचे की ओर ढलान कमी दर्शाता है। आयतचित्र सतत वर्गों के लिए होता है, जिसमें आयतों के क्षेत्रफल बारंबारता के समानुपाती होते हैं। वृत्त आलेख में भागों को कोणों द्वारा दर्शाया जाता है, जिनका योग 360° होता है।
ग्राफ पढ़ते समय क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्षों की इकाइयों को ध्यान से देखना आवश्यक है। प्रत्येक अक्ष पर कितने मान एक भाग को दर्शाते हैं, यह समझे बिना ग्राफ से मान नहीं निकाला जा सकता। रेखा ग्राफ में किसी विशेष समय पर मान निकालने के लिए उस बिंदु पर अक्ष से लंब डालकर मान पढ़ा जाता है। दंड आलेख में दंड के शीर्ष से मान पढ़ा जाता है। वृत्त आलेख में त्रिज्यखंड का कोण ज्ञात होने पर मान = (कोण/360°) × कुल से निकाला जाता है। इन विधियों का अभ्यास ग्राफ-आधारित प्रश्नों को हल करने में आवश्यक है।
उदाहरण 3: एक रेखा ग्राफ में पाँच वर्षों का बिक्री (लाख रुपये में) 20, 30, 25, 40, 45 दर्शाया गया है। दूसरे से चौथे वर्ष तक बिक्री में वृद्धि ज्ञात कीजिए।
हल: दूसरे वर्ष की बिक्री = 30, चौथे वर्ष की बिक्री = 40।
वृद्धि = 40 - 30 = 10 लाख रुपये।
उदाहरण 4: एक वृत्त आलेख में 360 विद्यार्थियों के परिवहन के साधनों में बस का त्रिज्यखंड 90° का है। बस से आने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: संख्या = (90/360) × 360 = 90 विद्यार्थी।
तालिका और ग्राफ से प्रतिशत और अनुपात संबंधी प्रश्न परीक्षा में बहुत पूछे जाते हैं। कुल का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए (भाग/कुल) × 100 सूत्र प्रयोग होता है। किसी वर्ष का पिछले वर्ष से अनुपात भिन्न रूप में या सरलतम रूप में मांगा जाता है। दो मानों का अनुपात निकालने के बाद उसके सरलतम रूप की जाँच करनी चाहिए। इन प्रश्नों में गणना से अधिक तालिका के सही मान पढ़ने का महत्व होता है, क्योंकि एक गलत मान पूरे उत्तर को गलत कर देता है।
कुछ प्रश्नों में कुल ज्ञात होने पर लुप्त मान निकालना होता है। उदाहरण के लिए यदि कुल उत्पादन ज्ञात हो और एक वर्ष का मान न दिया हो, तो शेष वर्षों के योग को कुल में से घटाकर लुप्त मान प्राप्त होता है। वृत्त आलेख में यदि कुल और एक त्रिज्यखंड का कोण ज्ञात हो, तो उसका मान निकाला जा सकता है। दंड आलेख में दो दंडों की तुलना से वृद्धि का प्रतिशत निकाला जा सकता है। इन सभी प्रकार के प्रश्नों का समग्र अभ्यास परीक्षा में उच्च अंक दिलाने में सहायक है।
उदाहरण 5: एक ग्राफ में शहर A की जनसंख्या 40000 और शहर B की 60000 है। शहर A की जनसंख्या शहर B की कितने प्रतिशत है?
हल: प्रतिशत = (40000/60000) × 100 = 66.67%।
उदाहरण 6: कुल उत्पादन 1500 इकाई है, जिसमें 500 इकाई मशीन A से, 400 मशीन B से तथा शेष मशीन C से है। मशीन C का उत्पादन तथा उसका प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल: मशीन C का उत्पादन = 1500 - 500 - 400 = 600 इकाई।
प्रतिशत = (600/1500) × 100 = 40%।
| ग्राफ | विशेषता | उपयोग |
|---|---|---|
| दंड आलेख | समान चौड़ाई के दंड | पृथक मानों की तुलना |
| रेखा ग्राफ | बिंदु + रेखा | समय के साथ प्रवृत्ति |
| आयतचित्र | सतत आयत | वर्गीकृत सतत आँकड़े |
| वृत्त आलेख | त्रिज्यखंड | भागों का अनुपात |
| आवृत्ति बहुभुज | मध्य मानों के बिंदु | वितरण की तुलना |
| गणना | सूत्र |
|---|---|
| प्रतिशत वृद्धि | ((नया - पुराना)/पुराना) × 100 |
| कुल का प्रतिशत | (भाग/कुल) × 100 |
| वृत्त आलेख से मान | (कोण/360°) × कुल |
| त्रिज्यखंड का कोण | (भाग/कुल) × 360° |
| औसत | कुल योग / संख्या |
| लुप्त मान | कुल - शेष मानों का योग |
flowchart TD
A[तालिका और ग्राफ] --> B[तालिका अध्ययन]
A --> C[दंड आलेख]
A --> D[रेखा ग्राफ]
A --> E[वृत्त आलेख]
A --> F[गणना सूत्र]
B --> B1[पंक्ति-स्तंभ पहचान]
B --> B2[योग, अंतर, औसत]
C --> C1[दंड ऊँचाई से मान]
D --> D1[ढलान से प्रवृत्ति]
E --> E1[कोण से मान]
F --> F1[प्रतिशत वृद्धि]
F --> F2[अनुपात]
F --> F3[लुप्त मान]
तालिका और ग्राफ आँकड़ों को प्रस्तुत करने और उनसे जानकारी प्राप्त करने के प्रभावी साधन हैं। इस अध्याय में हमने तालिकाओं को सही ढंग से पढ़ना तथा उनसे योग, अंतर, औसत, प्रतिशत और अनुपात निकालना सीखा। दंड आलेख, रेखा ग्राफ, आयतचित्र और वृत्त आलेख की विशेषताओं और उपयोगों को समझा। ग्राफ से मान निकालने, प्रवृत्ति की पहचान करने तथा वृत्त आलेख के कोणों से मान ज्ञात करने की तकनीकों का अभ्यास किया। इन प्रश्नों में गणना की तुलना में आँकड़ों का सही पठन अधिक महत्वपूर्ण है। तालिका और ग्राफ से जुड़े प्रश्न रेलवे की परीक्षा में निश्चित अंक दिलाने वाले होते हैं, बशर्ते अभ्यास से सटीक पठन की आदत बन जाए।