विषय: रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 अध्याय: तर्कशक्ति – श्रृंखला और समानता विषय-वस्तु: 6.3 संख्या श्रृंखला
संख्या श्रृंखला (Number Series) तर्कशक्ति का वह प्रमुख भाग है जिसमें संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची दी जाती है और उसमें से एक संख्या लुप्त या गलत होती है। अभ्यर्थी को संख्याओं के बीच के संबंध को पहचानकर लुप्त संख्या ज्ञात करनी होती है। रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 परीक्षा में संख्या श्रृंखला से 2 से 4 प्रश्न प्रतिवर्ष पूछे जाते हैं। यह विषय तर्कशक्ति की रीढ़ माना जाता है, क्योंकि यहाँ जोड़, घटाव, गुणा, भाग, वर्ग, घन और उनके मिश्रण — सभी संक्रियाओं का उपयोग होता है।
संख्या श्रृंखला को हल करने का मूल सिद्धांत अंतरों की श्रृंखला (difference series) का अध्ययन है। पहले दो क्रमागत संख्याओं का अंतर, फिर अगले दो का — इस प्रकार बनी अंतर-श्रृंखला यदि समान, बढ़ती, घटती या वर्ग-घन वाली हो, तो मूल नियम मिल जाता है। कभी-कभी सीधा संबंध नहीं मिलता और संख्याएँ गुणा-जोड़ के मिश्रित नियम से बनती हैं, जैसे संख्या को 2 से गुणा करके 3 जोड़ना। ऐसे नियमों की पहचान के लिए बार-बार अभ्यास आवश्यक है।
इस अध्याय में हम संख्या श्रृंखला के मुख्य प्रकारों — समान अंतर, बढ़ता-घटता अंतर, गुणा-भाग, वर्ग-घन और मिश्रित संक्रिया — का विस्तार से अध्ययन करेंगे। हम हल किए गए उदाहरणों के माध्यम से चरणबद्ध समाधान विधि, पुनरावृत्ति तालिकाओं, माइंड मैप तथा परीक्षा उपयोगी तकनीकों को सीखेंगे। सामान्य त्रुटियों की पहचान करके हम श्रृंखला प्रश्नों में सटीकता और गति दोनों प्राप्त करेंगे।
समान अंतर वाली श्रृंखला: इसमें प्रत्येक क्रमागत संख्या में एक समान संख्या जोड़ी या घटाई जाती है। उदाहरण: 5, 10, 15, 20, 25, ? — यहाँ +5 का नियम है, अतः अगली संख्या 30 होगी। इसी प्रकार 40, 35, 30, 25, ? में -5 का नियम है, उत्तर 20 है।
बढ़ता अंतर वाली श्रृंखला: इसमें अंतर स्वयं बढ़ता जाता है। उदाहरण: 2, 4, 7, 11, 16, ? — अंतर 2, 3, 4, 5 है, अतः अगला अंतर 6, उत्तर 22 है।
घटता अंतर वाली श्रृंखला: इसमें अंतर घटता जाता है। उदाहरण: 30, 26, 21, 15, ? — अंतर 4, 5, 6 है, अतः अगला अंतर 7, उत्तर 8 है।
गुणा-भाग वाली श्रृंखला: इसमें संख्याएँ किसी समान कारक से गुणा या भाग होती हैं। उदाहरण: 2, 6, 18, 54, ? — यहाँ ×3 का नियम है, अतः उत्तर 162 है।
वर्ग-घन वाली श्रृंखला: इसमें वर्ग या घन के क्रम आते हैं। उदाहरण: 1, 4, 9, 16, 25, ? — ये 1², 2², 3², 4², 5² हैं, अतः अगला 6² = 36 है। इसी प्रकार 1, 8, 27, 64, ? — ये घन हैं, उत्तर 125 है।
मिश्रित संक्रिया वाली श्रृंखला: इसमें गुणा और जोड़ दोनों बारी-बारी से होते हैं। उदाहरण: 2, 5, 11, 23, 47, ? — यहाँ ×2 + 1 का नियम है (2×2+1 = 5, 5×2+1 = 11, ...), अतः उत्तर 95 है।
संख्या श्रृंखला को हल करने के लिए निम्न चरणों का पालन करें।
चरण 1: पहले दो संख्याओं का अंतर या अनुपात ज्ञात करें। यदि अंतर सरल हो तो अंतर-श्रृंखला बनाएँ।
चरण 2: अंतर-श्रृंखला का पैटर्न देखें — समान, बढ़ता, घटता, वर्ग या घन। यदि अंतर-श्रृंखला का कोई स्पष्ट नियम न बने तो गुणा-भाग का प्रयास करें।
चरण 3: यदि एकल नियम न बने तो संख्याओं के दो वैकल्पिक समूह बनाकर प्रत्येक को अलग-अलग जाँचें। जैसे विषम स्थानों की श्रृंखला और सम स्थानों की श्रृंखला।
चरण 4: मिले हुए नियम को श्रृंखला के अंत तक लागू करके सत्यापित करें और फिर लुप्त पद निकालें।
उदाहरण 1: 3, 6, 11, 18, 27, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: अंतर 3, 5, 7, 9 हैं — ये क्रमागत विषम संख्याएँ हैं। अगला अंतर 11 होगा। अतः 27 + 11 = 38। उत्तर 38 है।
उदाहरण 2: 7, 14, 28, 56, ? में अगली संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: प्रत्येक संख्या में ×2 का नियम है। अतः 56 × 2 = 112। उत्तर 112 है।
उदाहरण 3: 2, 6, 12, 20, 30, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: अंतर 4, 6, 8, 10 हैं — बढ़ते हुए सम अंतर। अगला अंतर 12। 30 + 12 = 42। उत्तर 42 है।
उदाहरण 4: 1, 4, 9, 16, 25, ? में अगली संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: ये क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग हैं — 1², 2², 3², 4², 5²। अगला 6² = 36। उत्तर 36 है।
उदाहरण 5: 3, 7, 15, 31, 63, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: यहाँ ×2 + 1 का नियम है (3×2+1 = 7, 7×2+1 = 15, ...)। अतः 63 × 2 + 1 = 127। उत्तर 127 है।
उदाहरण 6: 100, 81, 64, 49, 36, ? में अगली संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: ये उल्टे क्रम के वर्ग हैं — 10², 9², 8², 7², 6²। अगला 5² = 25। उत्तर 25 है।
उदाहरण 7: श्रृंखला 2, 3, 5, 9, 17, ? में लुप्त संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: अंतर 1, 2, 4, 8 हैं — ये 2 की घातें हैं। अगला अंतर 16। 17 + 16 = 33। उत्तर 33 है।
उदाहरण 8: श्रृंखला 8, 7, 11, 12, 14, 17, 17, ? में अगली संख्या ज्ञात कीजिए।
हल: विषम स्थान: 8, 11, 14, 17 (+3) और सम स्थान: 7, 12, 17, ? (+5)। अतः ? = 17 + 5 = 22। उत्तर 22 है।
| प्रकार | नियम | उदाहरण | अगली संख्या |
|---|---|---|---|
| समान अंतर | +k | 5, 10, 15, 20 | 25 |
| बढ़ता अंतर | +2, +3, +4 | 2, 4, 7, 11 | 16 |
| घटता अंतर | -4, -5, -6 | 30, 26, 21 | 15 |
| गुणा नियम | ×k | 2, 6, 18, 54 | 162 |
| वर्ग नियम | n² | 1, 4, 9, 16 | 25 |
| मिश्रित नियम | ×2 + 1 | 3, 7, 15, 31 | 63 |
| संख्या | वर्ग | घन |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
flowchart TD
A[संख्या श्रृंखला] --> B[अंतर-श्रृंखला]
A --> C[गुणा-भाग नियम]
A --> D[वर्ग-घन नियम]
A --> E[मिश्रित संक्रिया]
B --> B1[समान अंतर]
B --> B2[बढ़ता अंतर]
B --> B3[घटता अंतर]
C --> C1[समान कारक ×]
D --> D1[n² वर्ग]
D --> D2[n³ घन]
E --> E1[×2 + 1]
E --> E2[×3 - 1]
संख्या श्रृंखला रेलवे टेक्नीशियन ग्रेड 3 की तर्कशक्ति का सबसे महत्वपूर्ण और स्कोरिंग विषय है। इस अध्याय में हमने समान अंतर, बढ़ते-घटते अंतर, गुणा-भाग, वर्ग-घन तथा मिश्रित संक्रिया वाली श्रृंखलाओं को पहचानना और हल करना सीखा। अंतर-श्रृंखला की विधि, सत्यापन की प्रक्रिया और दोहरी श्रृंखला की पहचान ने हमें कठिन से कठिन प्रश्न हल करने में सक्षम बनाया है। वर्ग-घन की तालिका और विभिन्न प्रकार के अभ्यास के साथ अभ्यर्थी इन प्रश्नों को न्यूनतम समय में हल कर सकता है। यह अध्याय लुप्त पद, मिश्रित श्रृंखला और संख्या पैटर्न वाले आगामी विषयों की तैयारी का आधार है।