सांख्यिकी (Statistics) आंकड़ों के संग्रह, व्यवस्था, विश्लेषण और व्याख्या का विज्ञान है। आंकड़ों के विश्लेषण से केंद्रीय प्रवृत्ति (माध्य, माध्यिका, बहुलक) और फैलाव की माप ज्ञात होती है। कक्षा 11 में हम आंकड़ों के फैलाव की मापों - परास, माध्य विचलन, प्रसरण और मानक विचलन का अध्ययन करेंगे। ये माप यह बताती हैं कि आंकड़े केंद्रीय मान के आसपास कितने बिखरे हुए हैं। मानक विचलन सांख्यिकी की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है।
फैलाव यह दर्शाता है कि आंकड़े अपने केंद्रीय मान के आसपास किस प्रकार वितरित हैं। फैलाव की मापें निम्नलिखित हैं: - परास (Range): अधिकतम और न्यूनतम मानों का अंतर। - माध्य विचलन (Mean Deviation): केंद्रीय मान (माध्य या माध्यिका) से विचलनों का औसत। - प्रसरण (Variance): माध्य से विचलनों के वर्गों का औसत। - मानक विचलन (Standard Deviation): प्रसरण का वर्गमूल।
माध्य विचलन में निरपेक्ष मान (Absolute value) प्रयोग होता है, इसलिए विचलन ऋणात्मक नहीं हो सकते।
प्रसरण विचलनों के वर्गों का औसत है: $$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$$
$$\sigma^2 = \frac{\sum f_i(x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$$
$$\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2$$
मानक विचलन प्रसरण का धनात्मक वर्गमूल है: $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$$
मानक विचलन सबसे विश्वसनीय फैलाव माप है, क्योंकि इसमें सभी आंकड़ों का उपयोग होता है। किसी अचर c से प्रत्येक मान बदलने पर मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है। सभी मानों को अचर से गुणा करने पर मानक विचलन भी उसी अचर से गुणा हो जाता है।
यदि दो समुच्चयों में क्रमशः $n_1, n_2$ मान हों और उनके माध्य $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ हों, तो संयुक्त माध्य: $$\bar{x} = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$$
गुणांक विचरण दो बंटनों की तुलना करने में सहायक है: $$\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100$$
कम गुणांक विचरण वाला बंटन अधिक सुसंगत (consistent) माना जाता है।
| माप | सूत्र (अवर्गीकृत) |
|---|---|
| परास | अधिकतम - न्यूनतम |
| माध्य विचलन | Σ |
| प्रसरण | Σ(xi - x̄)²/n |
| मानक विचलन | √[Σ(xi - x̄)²/n] |
| स्थिति | प्रभाव |
|---|---|
| सभी मानों में c जोड़ना | σ अपरिवर्तित |
| सभी मानों को c से गुणा | σ भी c से गुणा |
| CV की तुलना | कम CV = अधिक सुसंगत |
सांख्यिकी आंकड़ों के विश्लेषण का विज्ञान है, जो निर्णय लेने में सहायक होता है। फैलाव की मापों में माध्य विचलन, प्रसरण और मानक विचलन प्रमुख हैं। मानक विचलन आंकड़ों के बिखराव का सबसे विश्वसनीय माप है, जबकि गुणांक विचरण दो बंटनों की तुलना करता है। ये संकल्पनाएँ कक्षा 12 की प्रायिकता, प्रतिदर्श सर्वेक्षण और अर्थशास्त्र, विज्ञान, व्यवसाय प्रबंधन जैसे क्षेत्रों में अत्यंत उपयोगी हैं।