विषय: रेलवे ग्रुप D – गणित (अंकगणित) अध्याय: 2.9 समय और दूरी विषय-वस्तु: चाल दूरी समय, औसत चाल, रूपांतरण
समय और दूरी अंकगणित का वह अध्याय है जिसमें चाल, दूरी तथा समय के बीच संबंध का अध्ययन किया जाता है। इसका मूल सूत्र अत्यंत सरल है — दूरी = चाल × समय। इस एक सूत्र के तीनों रूप (दूरी निकालना, चाल निकालना, समय निकालना) परीक्षा में लगभग प्रतिदिन पूछे जाते हैं। रेलवे ग्रुप D की परीक्षा में इस अध्याय के प्रश्न सीधे सूत्र पर आधारित होते हैं।
इस अध्याय में मुख्य रूप से चाल का रूपांतरण (किमी/घंटा से मी/सेकंड), औसत चाल की गणना, विभिन्न गतियों से यात्रा करने वाले वाहनों का औसत, तथा समय-दूरी के सरल प्रश्न पूछे जाते हैं। औसत चाल के प्रश्नों में विशेष सावधानी रखनी पड़ती है क्योंकि कई बार भारित औसत की आवश्यकता होती है, साधारण औसत नहीं।
परीक्षा की दृष्टि से यह अध्याय अत्यंत स्कोरिंग है। यदि विद्यार्थी चाल के रूपांतरण के नियम (5/18 और 18/5) और औसत चाल के दो प्रमुख सूत्र कंठस्थ कर लें, तो अधिकांश प्रश्न बिना कागज-कलम के मौखिक रूप से हल हो जाते हैं। इसलिए अभ्यास के दौरान गति की इकाइयों पर विशेष ध्यान देना चाहिए।
मूल सूत्र तीन रूपों में उपयोग होते हैं:
इकाइयों का रूपांतरण (बहुत महत्वपूर्ण):
औसत चाल के सूत्र:
उदाहरण 1 (रूपांतरण): एक कार 90 किमी/घंटा की चाल से चल रही है। इसकी चाल मी/सेकंड में क्या होगी? हल: 90 × 5/18 = 25 मी/सेकंड।
उदाहरण 2 (औसत चाल): एक कार आधी दूरी 40 किमी/घंटा और शेष आधी दूरी 60 किमी/घंटा की चाल से तय करती है। औसत चाल ज्ञात कीजिए। हल: औसत चाल = 2v1v2/(v1+v2) = 2×40×60/100 = 48 किमी/घंटा।
उदाहरण 3 (कुल दूरी-समय): एक कार 60 किमी 40 किमी/घंटा से और अगले 60 किमी 60 किमी/घंटा से तय करती है। औसत चाल क्या है? हल: समय = 60/40 + 60/60 = 1.5 + 1 = 2.5 घंटे। औसत चाल = 120/2.5 = 48 किमी/घंटा।
उदाहरण 4 (भिन्न दूरियाँ): एक स्कूटर अपनी यात्रा का 1/3 भाग 30 किमी/घंटा और शेष 2/3 भाग 45 किमी/घंटा की चाल से तय करता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए। हल: माना कुल दूरी 3x किमी। समय = x/30 + 2x/45 = (3x+4x)/90 = 7x/90। औसत चाल = 3x/(7x/90) = 270/7 = 38.57 किमी/घंटा।
उदाहरण 5 (समय ज्ञात): एक ट्रेन 60 किमी/घंटा की चाल से चलती है। वह 150 किमी की दूरी कितने समय में तय करेगी? हल: समय = दूरी/चाल = 150/60 = 2.5 घंटे।
औसत चाल के प्रश्नों में यह ध्यान रखना आवश्यक है कि चालों का साधारण औसत केवल तभी लें जब समय समान हो। यदि दूरी समान है, तो 2v1v2/(v1+v2) सूत्र उपयोग करें, अन्यथा कुल दूरी को कुल समय से भाग दें।
उदाहरण 6 (तीन बराबर भाग): एक साइकिल सवार 10 किमी 10 किमी/घंटा, अगले 10 किमी 20 किमी/घंटा और शेष 10 किमी 30 किमी/घंटा की चाल से चलता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए। हल: औसत चाल = 3/(1/10+1/20+1/30) = 3/((6+3+2)/60) = 3×60/11 = 180/11 = 16.36 किमी/घंटा।
उदाहरण 7 (समान समय): एक मोटरसाइकिल पहले 2 घंटे 40 किमी/घंटा और अगले 2 घंटे 60 किमी/घंटा की चाल से चलती है। औसत चाल क्या है? हल: समय समान है, अतः औसत चाल = (40+60)/2 = 50 किमी/घंटा।
उदाहरण 8 (देरी वाला): एक व्यक्ति साइकिल से 30 किमी/घंटा की चाल से जाने पर 1 घंटा देर पहुंचता है और 40 किमी/घंटा की चाल से जाने पर 30 मिनट जल्दी पहुंचता है। दूरी ज्ञात कीजिए। हल: समयांतर = 1 + 0.5 = 1.5 घंटे। दूरी = v1v2×समयांतर/(v1−v2) = 30×40×1.5/10 = 180 किमी।
उदाहरण 9 (विपरीत दिशा): दो व्यक्ति एक ही स्थान से विपरीत दिशाओं में क्रमशः 4 किमी/घंटा और 6 किमी/घंटा की चाल से चलते हैं। 3 घंटे बाद उनके बीच कितनी दूरी होगी? हल: विपरीत दिशा में दूरी = (चालों का योग) × समय = 10 × 3 = 30 किमी।
उदाहरण 10 (समान दिशा): दो व्यक्ति एक ही स्थान से एक ही दिशा में क्रमशः 5 किमी/घंटा और 8 किमी/घंटा की चाल से चलते हैं। 4 घंटे बाद उनके बीच की दूरी क्या होगी? हल: दूरी = (चालों का अंतर) × समय = 3 × 4 = 12 किमी।
रूपांतरण के प्रश्नों में अक्सर किमी/घंटा तथा मी/सेकंड का उपयोग होता है। कुछ प्रश्नों में मिनटों या सेकंडों में समय दिया होता है, जिसे घंटों में बदलना आवश्यक है।
उदाहरण 11 (मीटर-सेकंड): एक धावक 8 मी/सेकंड की चाल से दौड़ रहा है। 45 सेकंड में वह कितनी दूरी तय करेगा? हल: दूरी = 8 × 45 = 360 मीटर।
उदाहरण 12 (मिनट में दूरी): एक साइकिल सवार 12 किमी/घंटा की चाल से चलता है। वह 25 मिनट में कितनी दूरी तय करेगा? हल: दूरी = 12 × 25/60 = 5 किमी।
उदाहरण 13 (मिश्रित): एक कार पहले 2 घंटे 45 किमी/घंटा, फिर अगले 3 घंटे 60 किमी/घंटा की चाल से चलती है। कुल दूरी ज्ञात कीजिए। हल: दूरी = 45×2 + 60×3 = 90 + 180 = 270 किमी।
उदाहरण 14 (औसत चाल गलत अवधारणा): एक आदमी A से B तक 20 किमी/घंटा से जाता है और B से A तक 30 किमी/घंटा से लौटता है। औसत चाल क्या होगी? हल: 2×20×30/50 = 24 किमी/घंटा (साधारण औसत 25 नहीं)।
उदाहरण 15 (समय अंतर): एक ट्रेन 40 किमी/घंटा से चलने पर 4 घंटे और 60 किमी/घंटा से चलने पर 2 घंटे 40 मिनट लेती है। दूरी ज्ञात कीजिए। हल: माना दूरी d किमी। d/40 − d/60 = 4 − 8/3 = 4/3। d(1/40 − 1/60) = 4/3, d×1/120 = 4/3, d = 160 किमी।
| इकाई | रूपांतरण |
|---|---|
| किमी/घंटा → मी/सेकंड | × 5/18 |
| मी/सेकंड → किमी/घंटा | × 18/5 |
| 36 किमी/घंटा | 10 मी/सेकंड |
| 54 किमी/घंटा | 15 मी/सेकंड |
| 72 किमी/घंटा | 20 मी/सेकंड |
| 90 किमी/घंटा | 25 मी/सेकंड |
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| समान दूरी की दो यात्राएँ | 2v1v2/(v1+v2) |
| समान दूरी की तीन यात्राएँ | 3/(1/v1+1/v2+1/v3) |
| समान समय की यात्राएँ | (v1+v2)/2 |
| सामान्य | कुल दूरी/कुल समय |
| देरी-जल्दी वाला प्रश्न | (v1v2×समयांतर)/(v1−v2) |
flowchart TD
A[2.9 समय और दूरी] --> B[मूल सूत्र दूरी = चाल × समय]
A --> C[औसत चाल]
A --> D[रूपांतरण]
A --> E[विशेष प्रश्न]
B --> B1[चाल = दूरी/समय]
B --> B2[समय = दूरी/चाल]
C --> C1[समान दूरी 2v1v2/(v1+v2)]
C --> C2[कुल दूरी/कुल समय]
D --> D1[×5/18 किमी से मी]
D --> D2[×18/5 मी से किमी]
E --> E1[देरी वाला प्रश्न]
E --> E2[समान/विपरीत दिशा]
समय और दूरी का अध्याय मूल रूप से तीन संबंधों पर आधारित है — दूरी = चाल × समय, समान दूरी के लिए औसत चाल = 2v1v2/(v1+v2) तथा कुल औसत = कुल दूरी/कुल समय। चाल का रूपांतरण 5/18 व 18/5 से करने पर इस अध्याय के सभी प्रश्न सरलतापूर्वक हल हो जाते हैं। इकाइयों की समरूपता बनाए रखकर तथा औसत चाल का सही सूत्र चुनकर रेलवे ग्रुप D में इस अध्याय के पूर्ण अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।