4.5 बहुभुज

विषय: रेलवे NTPC – गणित (ज्यामिति और क्षेत्रमिति) अध्याय: 4.5 बहुभुज विषय-वस्तु: बहुभुज, अंतः-बाह्य कोण

1. परिचय

बहुभुज उन बंद आकृतियों को कहते हैं जो तीन या अधिक रेखाखंडों से बनी होती हैं। रेलवे NTPC परीक्षा में बहुभुज से संबंधित प्रश्न प्रायः अंतः कोणों का योग, बाह्य कोण, प्रत्येक अंतः कोण, विकर्णों की संख्या तथा भुजाओं की संख्या ज्ञात करने पर आधारित होते हैं। ये सभी प्रश्न कुछ सरल सूत्रों से हल हो जाते हैं, इसलिए यह अध्याय उन विद्यार्थियों के लिए स्कोरिंग साबित होता है जिन्होंने सूत्रों को सही ढंग से याद कर लिया हो। इस अध्याय को पहले के अध्यायों से जोड़कर पढ़ने से त्रिभुज और चतुर्भुज की समझ भी और अधिक स्पष्ट होती है।

बहुभुज की प्रत्येक सरल रेखा को भुजा कहते हैं और दो क्रमागत भुजाओं के मिलन बिंदु को शीर्ष कहा जाता है। बहुभुज का नाम उसकी भुजाओं की संख्या पर निर्भर करता है, जैसे तीन भुजाओं वाला त्रिभुज, चार भुजाओं वाला चतुर्भुज, पांच भुजाओं वाला पंचभुज, छह भुजाओं वाला षट्भुज, सात भुजाओं वाला सप्तभुज, आठ भुजाओं वाला अष्टभुज और दस भुजाओं वाला दशभुज कहलाता है। यदि बहुभुज की सभी भुजाएं और सभी कोण बराबर हों तो उसे समबहुभुज कहते हैं, जैसे समबाहु त्रिभुज और वर्ग।

इस अध्याय में हम सबसे पहले बहुभुज के मूल गुणों और महत्वपूर्ण सूत्रों को समझेंगे, जिनमें अंतः कोणों के योग का सूत्र (n - 2) × 180° और विकर्णों की संख्या का सूत्र n(n - 3)/2 शामिल है। इसके बाद समबहुभुज के प्रत्येक अंतः कोण और बाह्य कोण के सूत्रों का अध्ययन करेंगे तथा अंत में अंतः और बाह्य कोणों के संबंधों को स्पष्ट करेंगे। प्रत्येक अवधारणा के साथ चरणबद्ध हल उदाहरण दिए गए हैं और अंत में पुनरावृत्ति तालिकाएं, माइंड मैप, आरेख, सामान्य गलतियां तथा परीक्षा युक्तियां शामिल की गई हैं।

2. बहुभुज के मूल गुण और सूत्र

किसी भी बहुभुज पर लागू होने वाले निम्नलिखित मूल गुण और सूत्र परीक्षा के अधिकांश प्रश्नों का आधार हैं। इन्हें कंठस्थ रखना आवश्यक है।

• अंतः कोणों का योग: n भुजाओं वाले बहुभुज के सभी अंतः कोणों का योग (n - 2) × 180° होता है। इसका कारण यह है कि किसी भी बहुभुज को उसके एक शीर्ष से विकर्ण खींचकर (n - 2) त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
• विकर्णों की संख्या: n भुजाओं वाले बहुभुज में कुल विकर्णों की संख्या n(n - 3)/2 होती है। उदाहरण के लिए चतुर्भुज में 2 विकर्ण और पंचभुज में 5 विकर्ण होते हैं।
• बाह्य कोणों का योग: किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है, चाहे बहुभुज समबहुभुज हो या विषमबहुभुज।
• प्रत्येक बाह्य कोण (समबहुभुज): प्रत्येक बाह्य कोण = 360°/n होता है।
• प्रत्येक अंतः कोण (समबहुभुज): प्रत्येक अंतः कोण = (n - 2) × 180°/n होता है।
• अंतः और बाह्य कोण का संबंध: किसी बहुभुज के एक शीर्ष पर अंतः कोण और बाह्य कोण का योग हमेशा 180° होता है, क्योंकि ये एक रैखिक युग्म बनाते हैं।

उदाहरण 1: एक षट्भुज के सभी अंतः कोणों का योग ज्ञात कीजिए। हल: n = 6, अतः अंतः कोणों का योग = (6 - 2) × 180° = 4 × 180° = 720°।

उदाहरण 2: एक पंचभुज में कुल कितने विकर्ण होते हैं? हल: n = 5, अतः विकर्ण = 5(5 - 3)/2 = 5 × 2/2 = 5।

उदाहरण 3: एक समबहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 40° है, तो भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। हल: प्रत्येक बाह्य कोण = 360°/n = 40°, अतः n = 360°/40° = 9। इसलिए यह नवभुज है।

3. समबहुभुज के कोण

समबहुभुज वह बहुभुज है जिसकी सभी भुजाएं और सभी कोण बराबर होते हैं। समबहुभुज के कोणों से संबंधित निम्नलिखित सूत्रों को ध्यान से समझना चाहिए, क्योंकि परीक्षा में इन्हीं से सर्वाधिक प्रश्न बनते हैं।

• प्रत्येक बाह्य कोण: समबहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण की माप = 360°/n होती है। चूंकि सभी बाह्य कोण बराबर होते हैं, इसलिए 360° को भुजाओं की संख्या से विभाजित किया जाता है।
• प्रत्येक अंतः कोण: समबहुभुज के प्रत्येक अंतः कोण की माप = (n - 2) × 180°/n होती है। इसे दूसरे रूप में 180° - (360°/n) भी लिखा जा सकता है।
• समबहुभुज की पहचान: जिन बहुभुजों की सभी भुजाएं और सभी कोण बराबर हों वे समबहुभुज कहलाते हैं। समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समषट्भुज आदि समबहुभुज के उदाहरण हैं।
• केंद्र पर बना कोण: समबहुभुज के केंद्र पर बने कोण की माप 360°/n होती है। यह उसी बहुभुज के बाह्य कोण के बराबर होता है।

उदाहरण 4: एक समषट्भुज का प्रत्येक अंतः कोण ज्ञात कीजिए। हल: प्रत्येक अंतः कोण = (6 - 2) × 180°/6 = 4 × 180°/6 = 720°/6 = 120°।

उदाहरण 5: एक समबहुभुज के प्रत्येक अंतः कोण की माप 150° है, तो भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। हल: प्रत्येक बाह्य कोण = 180° - 150° = 30°। अतः n = 360°/30° = 12। यह बारह भुजाओं वाला द्वादशभुज है।

उदाहरण 6: एक समबहुभुज का प्रत्येक बाह्य कोण 60° है, तो उसका नाम बताइए। हल: n = 360°/60° = 6, अतः यह एक षट्भुज है।

4. अंतः और बाह्य कोण का संबंध

अंतः कोण और बाह्य कोण के बीच के संबंध को समझना बहुभुज के प्रश्नों को हल करने की कुंजी है। निम्नलिखित बिंदुओं पर विशेष ध्यान दें:

• रैखिक युग्म: प्रत्येक शीर्ष पर अंतः कोण और बाह्य कोण मिलकर एक रैखिक युग्म बनाते हैं, अतः दोनों का योग हमेशा 180° होता है।
• बाह्य कोणों का कुल योग: बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है, चाहे बहुभुज कितनी भी भुजाओं का क्यों न हो। यह बहुभुज की सबसे उपयोगी विशेषता है।
• अंतः कोणों का कुल योग: (n - 2) × 180° सूत्र से अंतः कोणों का योग ज्ञात होता है। किसी शीर्ष के अंतः कोण का मान, 180° से बाह्य कोण घटाकर भी प्राप्त किया जा सकता है।
• भुजाओं की संख्या ज्ञात करना: यदि प्रत्येक बाह्य कोण ज्ञात हो तो n = 360°/बाह्य कोण से भुजाओं की संख्या निकाली जाती है, और यदि अंतः कोण ज्ञात हो तो पहले बाह्य कोण = 180° - अंतः कोण निकालकर उसी विधि से n ज्ञात करें।
• विकर्ण से त्रिभुजों का निर्माण: किसी बहुभुज के एक शीर्ष से (n - 3) विकर्ण खींचे जा सकते हैं, जो उसे (n - 2) त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।

उदाहरण 7: एक बहुभुज के अंतः कोणों का योग 1080° है, तो भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। हल: (n - 2) × 180° = 1080°, अतः n - 2 = 6 और n = 8। यह एक अष्टभुज है।

उदाहरण 8: एक समबहुभुज का प्रत्येक अंतः कोण 144° है, तो उसके विकर्णों की संख्या ज्ञात कीजिए। हल: बाह्य कोण = 180° - 144° = 36°, अतः n = 360°/36° = 10। विकर्ण = 10(10 - 3)/2 = 35।

उदाहरण 9: यदि बहुभुज के अंतः कोणों का योग 1800° हो, तो उसमें कुल कितने विकर्ण होंगे? हल: (n - 2) × 180° = 1800°, अतः n - 2 = 10 और n = 12। विकर्ण = 12(12 - 3)/2 = 54।

5. त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएं

तालिका 1: बहुभुजों के नाम और कोणों का योग

भुजाओं की संख्या	बहुभुज का नाम	अंतः कोणों का योग
3	त्रिभुज	180°
4	चतुर्भुज	360°
5	पंचभुज	540°
6	षट्भुज	720°
7	सप्तभुज	900°
8	अष्टभुज	1080°
10	दशभुज	1440°
12	द्वादशभुज	1800°

तालिका 2: बहुभुज के महत्वपूर्ण सूत्र

राशि	सूत्र
अंतः कोणों का योग	(n - 2) × 180°
बाह्य कोणों का योग	360°
विकर्णों की संख्या	n(n - 3)/2
प्रत्येक बाह्य कोण (समबहुभुज)	360°/n
प्रत्येक अंतः कोण (समबहुभुज)	(n - 2) × 180°/n
एक शीर्ष से विकर्ण	n - 3

6. माइंड मैप

flowchart TD
    A[4.5 बहुभुज] --> B[मूल गुण]
    A --> C[समबहुभुज के कोण]
    A --> D[अंतः-बाह्य संबंध]
    B --> B1[अंतः कोणों का योग n-2 गुना 180]
    B --> B2[बाह्य कोणों का योग 360]
    B --> B3[विकर्ण n(n-3)/2]
    C --> C1[प्रत्येक बाह्य कोण 360/n]
    C --> C2[प्रत्येक अंतः कोण n-2 गुना 180/n]
    D --> D1[अंतः और बाह्य का योग 180]
    D --> D2[भुजाएं 360 भाग बाह्य कोण]
    D --> D3[एक शीर्ष से n-3 विकर्ण]

7. महत्वपूर्ण आरेख (SVG)

8. सामान्य गलतियां

1. अंतः कोणों के योग के सूत्र में (n - 2) × 180° की जगह (n - 2) × 360° लिख दिया जाता है। याद रखें कि प्रत्येक त्रिभुज का कोण योग 180° होता है, इसलिए गुणक 180° ही है।

2. बाह्य कोणों के योग को (n - 2) × 180° के बराबर मान लिया जाता है, जबकि किसी भी बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है, भुजाओं की संख्या से स्वतंत्र।

3. प्रत्येक अंतः कोण का सूत्र लगाते समय 360° को भुजाओं की संख्या से भाग दे दिया जाता है, जबकि 360°/n केवल बाह्य कोण देता है। अंतः कोण के लिए (n - 2) × 180°/n या 180° - (360°/n) प्रयोग करें।

4. विकर्णों की गिनती में समीपस्थ शीर्षों को जोड़ने वाले किनारों (भुजाओं) को भी विकर्ण गिन लिया जाता है। विकर्ण केवल गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ते हैं, इसलिए सूत्र n(n - 3)/2 सही है।

5. किसी बहुभुज के एक शीर्ष से (n - 2) विकर्ण खींचे जाते हैं, यह भ्रम गलत है। एक शीर्ष से केवल (n - 3) विकर्ण खींचे जाते हैं, जो बहुभुज को (n - 2) त्रिभुजों में बांटते हैं।

6. बाह्य कोण से भुजाओं की संख्या निकालते समय भाग की दिशा उलटने से गलत उत्तर मिलता है। भुजाओं की संख्या n = 360° ÷ बाह्य कोण होती है।

9. परीक्षा युक्तियां

1. अंतः कोणों के योग और विकर्णों की संख्या के दो सूत्रों को सबसे पहले कंठस्थ करें, क्योंकि अधिकांश प्रश्न इन्हीं पर आधारित होते हैं।

2. जब प्रत्येक अंतः कोण दिया हो तो पहले 180° से घटाकर बाह्य कोण निकालें और फिर n = 360°/बाह्य कोण से भुजाएं ज्ञात करें, यह सबसे तेज विधि है।

3. बहुभुज के नाम और भुजाओं की संख्या की तालिका याद रखें, क्योंकि उत्तर को सही नाम के साथ मिलाना आवश्यक होता है।

4. विकर्णों के प्रश्न में पहले भुजाओं की संख्या निकालें, फिर n(n - 3)/2 सूत्र लगाएं; गणना ध्यान से करें क्योंकि इसमें गुणन की संभावना अधिक रहती है।

5. बहुभुज के कोण प्रश्नों में भुजाओं की संख्या सीधे 360° को बाह्य कोण से भाग देकर प्राप्त करें, लंबे समीकरण से बचें।

6. अंतिम उत्तर की इकाई और शब्दों को जांचें; कोणों के लिए डिग्री चिह्न लिखना और बहुभुज के नाम को सही रूप से उत्तर में चुनना न भूलें।

10. निष्कर्ष

बहुभुज ज्यामिति का वह रोचक विषय है जिसमें त्रिभुज और चतुर्भुज की सभी अवधारणाएं एक साथ सन्निहित हैं। अंतः कोणों के योग (n - 2) × 180°, बाह्य कोणों के योग 360°, विकर्णों की संख्या n(n - 3)/2 तथा समबहुभुज के प्रत्येक अंतः और बाह्य कोण के सूत्रों को स्पष्ट रूप से समझकर NTPC परीक्षा के बहुभुज प्रश्नों को सरलता से सटीक उत्तर दिया जा सकता है। इन सूत्रों के नियमित अभ्यास और सही प्रयोग के साथ यह अध्याय परीक्षा में निश्चित अंक अर्जित करने में पूर्णतः सक्षम है।