विषय: रेलवे NTPC – तर्कशक्ति (श्रृंखला) अध्याय: 7.6 पैटर्न आधारित श्रृंखला विषय-वस्तु: विशेष पैटर्न
पैटर्न आधारित श्रृंखला तर्कशक्ति का वह भाग है जिसमें संख्याओं, अक्षरों या चिह्नों का क्रम किसी विशेष और असामान्य नियम से चलता है। सामान्य अंतर या गुणन श्रृंखला की भाँति यहाँ पैटर्न अधिक जटिल होते हैं, जैसे वैकल्पिक पदों की अलग-अलग श्रृंखलाएँ, वर्ग-घन का मिश्रण, फिबोनाची श्रृंखला, विशिष्ट संख्याओं के योग-गुणनफल या विभिन्न गणितीय संक्रियाओं का संयोजन। रेलवे एनटीपीसी परीक्षा में ऐसे विशेष पैटर्न से प्रश्न पूछे जाते हैं।
इस अध्याय का मुख्य उद्देश्य अभ्यर्थी को विभिन्न प्रकार के विशेष पैटर्न की पहचान करना सिखाना है। जब श्रृंखला में संख्याएँ न तो समान अंतर से बढ़ती हैं और न ही एक स्थिर गुणक से, तो समझना चाहिए कि वह कोई विशेष पैटर्न है। ऐसी श्रृंखलाओं में सबसे महत्वपूर्ण है धैर्यपूर्वक अवलोकन और सही संकेत की पहचान, क्योंकि प्रत्येक श्रृंखला का अपना अलग नियम होता है।
इस अध्याय में हम प्रमुख विशेष पैटर्नों का अध्ययन करेंगे, जिनमें वैकल्पिक श्रृंखला, फिबोनाची श्रृंखला, वर्ग-घन मिश्रित श्रृंखला, अभाज्य संख्या श्रृंखला, गुणन-योग मिश्रित श्रृंखला तथा बहुपदीय संबंधों पर आधारित श्रृंखलाएँ शामिल हैं। प्रत्येक पैटर्न को चरणबद्ध हल किए गए उदाहरणों द्वारा समझाया जाएगा।
वैकल्पिक श्रृंखला में विषम स्थानों के पदों की एक अलग श्रृंखला होती है और सम स्थानों के पदों की एक अलग। यह सबसे अधिक पूछे जाने वाले विशेष पैटर्न में से एक है। फिबोनाची श्रृंखला में प्रत्येक पद अपने पिछले दो पदों का योग होता है, जैसे 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13। दोनों की पहचान श्रृंखला के अवलोकन से हो जाती है।
वैकल्पिक श्रृंखला की पहचान:
फिबोनाची श्रृंखला की पहचान:
उदाहरण 1: श्रृंखला 2, 5, 4, 10, 6, 15, ?, 20 में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: विषम स्थान: 2, 4, 6, ? जिनमें +2 है, अतः अगला विषम पद 8 होगा। सम स्थान: 5, 10, 15, 20 जिनमें +5 है। अगला पद आठवें स्थान पर है, अतः सम स्थान से 20 के बाद ? विषम स्थान पर है। 6 + 2 = 8। उत्तर: 8
उदाहरण 2: श्रृंखला 1, 1, 2, 3, 5, 8, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: फिबोनाची श्रृंखला है, प्रत्येक पद पिछले दो पदों का योग है। 5 + 8 = 13। उत्तर: 13
उदाहरण 3: श्रृंखला 2, 3, 5, 9, 17, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: अंतर 1, 2, 4, 8 हैं, जो दोगुने होते जा रहे हैं। अगला अंतर 16 होगा, अतः 17 + 16 = 33। उत्तर: 33
कई विशेष पैटर्न अभाज्य संख्याओं, वर्गों और घनों पर आधारित होते हैं। अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में 2, 3, 5, 7, 11, 13 जैसे अभाज्य संख्याएँ क्रम में आती हैं। वर्ग-घन मिश्रित श्रृंखला में पद कभी वर्ग तो कभी घन होते हैं, या वर्ग/घन के साथ कोई संक्रिया जुड़ी होती है। इनकी पहचान संख्याओं के मानों को पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन से मिलाने से होती है।
अभाज्य संख्या श्रृंखला की पहचान:
वर्ग-घन मिश्रित श्रृंखला की पहचान:
उदाहरण 4: श्रृंखला 2, 3, 5, 7, 11, 13, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: ये क्रमिक अभाज्य संख्याएँ हैं। 13 के बाद अगली अभाज्य संख्या 17 है। उत्तर: 17
उदाहरण 5: श्रृंखला 1, 1, 4, 8, 9, 27, 16, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: विषम स्थान: 1, 4, 9, 16 जो क्रमशः 1², 2², 3², 4² हैं। सम स्थान: 1, 8, 27 जो क्रमशः 1³, 2³, 3³ हैं। अगला पद सम स्थान पर है, अतः 4³ = 64 होगा। उत्तर: 64
उदाहरण 6: श्रृंखला 2, 9, 28, 65, 126, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: ये n³ + 1 के रूप हैं: 1³ + 1 = 2, 2³ + 1 = 9, 3³ + 1 = 28, 4³ + 1 = 65, 5³ + 1 = 126। अगला पद 6³ + 1 = 216 + 1 = 217। उत्तर: 217
कई विशेष पैटर्नों में गुणन के साथ योग या व्यवकलन मिला होता है। जैसे "2 से गुणा करके 1 जोड़ें" वाली श्रृंखला, या "3 से गुणा करके 2 घटाएँ" वाली श्रृंखला। इसके अतिरिक्त कुछ श्रृंखलाएँ बहुपदीय संबंधों पर आधारित होती हैं, जिनमें पद किसी सूत्र के अनुसार बदलते हैं। इन्हें हल करने के लिए संक्रियाओं के संयोजन की पहचान आवश्यक है।
गुणन-योग मिश्रित श्रृंखला के प्रकार:
बहुपदीय श्रृंखला के प्रकार:
उदाहरण 7: श्रृंखला 3, 8, 18, 38, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: पैटर्न ×2 + 2 है: 3 × 2 + 2 = 8, 8 × 2 + 2 = 18, 18 × 2 + 2 = 38, 38 × 2 + 2 = 78। उत्तर: 78
उदाहरण 8: श्रृंखला 4, 7, 13, 25, 49, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: पैटर्न ×2 - 1 है: 4 × 2 - 1 = 7, 7 × 2 - 1 = 13, 13 × 2 - 1 = 25, 25 × 2 - 1 = 49, 49 × 2 - 1 = 97। उत्तर: 97
उदाहरण 9: श्रृंखला 2, 6, 24, 120, ? में अगला पद ज्ञात कीजिए।
हल: गुणक क्रम 3, 4, 5 है: 2 × 3 = 6, 6 × 4 = 24, 24 × 5 = 120, 120 × 6 = 720। उत्तर: 720
| पैटर्न | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| वैकल्पिक | विषम-सम स्थान अलग-अलग | 2, 5, 4, 10, 6, 15 |
| फिबोनाची | पिछले दो पदों का योग | 1, 1, 2, 3, 5, 8 |
| अभाज्य | क्रमिक अभाज्य संख्याएँ | 2, 3, 5, 7, 11, 13 |
| ×2 + 1 | गुणा करके अचर जोड़ें | 2, 5, 11, 23, 47 |
| ×2 - 1 | गुणा करके अचर घटाएँ | 5, 9, 17, 33, 65 |
| त्रिभुजाकार | n(n+1)/2 | 1, 3, 6, 10, 15 |
| क्रम | अभाज्य संख्या | क्रम | अभाज्य संख्या |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 7 | 17 |
| 2 | 3 | 8 | 19 |
| 3 | 5 | 9 | 23 |
| 4 | 7 | 10 | 29 |
| 5 | 11 | 11 | 31 |
| 6 | 13 | 12 | 37 |
flowchart TD
A[पैटर्न आधारित श्रृंखला] --> B[वैकल्पिक श्रृंखला]
A --> C[फिबोनाची श्रृंखला]
A --> D[अभाज्य संख्या श्रृंखला]
A --> E[वर्ग घन मिश्रित]
A --> F[गुणन योग मिश्रित]
B --> B1[विषम स्थान]
B --> B2[सम स्थान]
C --> C1[पिछले दो पदों का योग]
D --> D1[क्रमिक अभाज्य]
E --> E1[n घात 2]
E --> E2[n घात 3]
F --> F1[गुणा प्लस अचर]
F --> F2[गुणा माइनस अचर]
पैटर्न आधारित श्रृंखला तर्कशक्ति का वह भाग है जिसमें अभ्यर्थी की अवलोकन क्षमता और गणितीय ज्ञान दोनों की परीक्षा होती है। इस अध्याय में हमने वैकल्पिक श्रृंखला, फिबोनाची श्रृंखला, अभाज्य संख्या श्रृंखला, वर्ग-घन मिश्रित श्रृंखला तथा गुणन-योग मिश्रित श्रृंखला की विधियों को चरणबद्ध उदाहरणों द्वारा समझा। अभ्यर्थी को चाहिए कि वह इन सभी पैटर्नों का विविध प्रश्नों के साथ नियमित अभ्यास करे, ताकि परीक्षा में किसी भी विशेष पैटर्न को देखकर उसकी शीघ्र पहचान हो सके और सटीक उत्तर दिया जा सके।