समाकलनों के अनुप्रयोग (Application of Integrals) अध्याय में हम निश्चित समाकलों का उपयोग करके विभिन्न ज्यामितीय क्षेत्रफलों की गणना करना सीखते हैं। निश्चित समाकल वक्रों के नीचे के क्षेत्रफल की गणना का वैज्ञानिक उपकरण है। इस अध्याय में हम सरल रेखाओं और वक्रों से घिरे क्षेत्रों का क्षेत्रफल, दो वक्रों के बीच का क्षेत्रफल, तथा मानक वक्रों (जैसे वृत्त, परवलय, दीर्घवृत्त) से संबंधित क्षेत्रफलों की गणना करेंगे। यह अध्याय समाकलन के व्यावहारिक महत्व को दर्शाता है।
माना $y = f(x)$ एक सतत फलन है जो अंतराल $[a, b]$ में $f(x) \geq 0$ है। तब $x = a$, $x = b$, $x$-अक्ष और वक्र $y = f(x)$ से घिरा क्षेत्रफल: $$A = \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b y \, dx$$
यदि $f(x) \leq 0$ है, तो क्षेत्रफल: $$A = -\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b |f(x)| \, dx$$
वक्र $x = g(y)$ और $y = c$, $y = d$ के बीच का क्षेत्रफल: $$A = \int_c^d g(y) \, dy = \int_c^d x \, dy$$
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ का क्षेत्रफल: $$A = 4\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \pi a^2$$
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का क्षेत्रफल: $$A = 4\int_0^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \pi ab$$
परवलय $y^2 = 4ax$ और $x = a$ रेखा के बीच का क्षेत्रफल: $$A = 2\int_0^a \sqrt{4ax} \, dx = \frac{8a^2}{3}$$
माना दो वक्र $y = f(x)$ और $y = g(x)$ अंतराल $[a, b]$ में $f(x) \geq g(x)$ हैं। इनके बीच का क्षेत्रफल: $$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$$
परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $y = x$ के बीच का क्षेत्रफल: प्रतिच्छेद बिंदु $x^2 = 4x \Rightarrow x = 0, 4$। रेखा परवलय से ऊपर है (जहाँ $0 \leq x \leq 4$)। $$A = \int_0^4 \left(\sqrt{4x} - \frac{x}{2}\right)dx \text{ जैसी सावधानीपूर्वक गणना करें}$$
वास्तव में रेखा $y = x$ और परवलय $y^2 = 4x$: क्षेत्रफल $= \int_0^4 (2\sqrt{x} - x)dx = \left[\frac{4}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^4 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{8}{3}$ वर्ग इकाई।
कभी-कभी वक्र $x$-अक्ष के दोनों ओर फैला होता है। ऐसी स्थिति में कुल क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए प्रत्येक भाग का निरपेक्ष मान लेकर जोड़ना पड़ता है: $$A = \left|\int_a^c f(x) dx\right| + \left|\int_c^b f(x) dx\right|$$
जहाँ $c$ वह बिंदु है जहाँ वक्र $x$-अक्ष को काटता है।
क्षेत्रफल की गणना की विधियों को स्पष्ट करने के लिए निम्न उदाहरण चरणबद्ध रूप में हल किए गए हैं।
उदाहरण 1: वक्र $y = x^2$, $x$-अक्ष और रेखाओं $x = 1$, $x = 2$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: $y = x^2$ अंतराल $[1, 2]$ में धनात्मक है। अतः क्षेत्रफल: $$A = \int_1^2 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$ वर्ग इकाई। चित्र बनाने से स्पष्ट होता है कि वक्र $x$-अक्ष के ऊपर ही है, इसलिए क्षेत्रफल सीधे समाकल से प्राप्त हो गया।
उदाहरण 2: वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ के प्रथम चतुर्थांश में स्थित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: $y = \sqrt{16 - x^2}$। प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल: $$A = \int_0^4 \sqrt{16 - x^2} \, dx = \frac{\pi(4)^2}{4} = 4\pi$$ वर्ग इकाई, क्योंकि $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}dx = \frac{\pi a^2}{4}$। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल $4 \times 4\pi = 16\pi$ वर्ग इकाई है।
उदाहरण 3: परवलय $y^2 = 4x$ तथा रेखा $x = 4$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: परवलय $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। $x = 4$ पर $y = \pm 4$। अतः कुल क्षेत्रफल: $$A = 2\int_0^4 \sqrt{4x} \, dx = 2\int_0^4 2\sqrt{x} \, dx = 4\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{8}{3}(8) = \frac{64}{3}$$ वर्ग इकाई। यहाँ सममिति का उपयोग करके आधे क्षेत्रफल को दोगुना किया गया है।
उदाहरण 4: वक्र $y = \sqrt{x}$ और रेखा $y = x$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: प्रतिच्छेद बिंदु हेतु $\sqrt{x} = x \Rightarrow x = 0$ या $x = 1$। अंतराल $[0, 1]$ में $y = \sqrt{x}$ रेखा $y = x$ से ऊपर है। क्षेत्रफल: $$A = \int_0^1 (\sqrt{x} - x) \, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$$ वर्ग इकाई। इस उदाहरण में ध्यान दीजिए कि ऊपरी वक्र से निचले वक्र को घटाना आवश्यक था, अन्यथा क्षेत्रफल ऋणात्मक आता।
उदाहरण 5: $y$-अक्ष और रेखा $x = 2y$ द्वारा $y = 0$ से $y = 3$ तक घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: $x = 2y$, $y \in [0, 3]$। $y$-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल: $$A = \int_0^3 2y \, dy = [y^2]_0^3 = 9$$ वर्ग इकाई। यहाँ समाकलन $y$ के सापेक्ष किया गया है, क्योंकि क्षेत्रफल $y$-अक्ष से मापा जा रहा है।
उदाहरण 6: वक्र $y = \sin x$ और $x$-अक्ष के बीच $x = 0$ से $x = \pi$ तक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: अंतराल $[0, \pi]$ में $\sin x \geq 0$ है। अतः: $$A = \int_0^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$$ वर्ग इकाई।
क्षेत्रफल की गणना में वक्र की सममिति का सदुपयोग करना सबसे बड़ा कौशल है। वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ चारों चतुर्थांशों में सममित होता है, इसलिए प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कर उसे चार से गुणा किया जाता है। दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ भी दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित होता है। इसी प्रकार परवलय $y^2 = 4ax$ केवल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है, अतः उसके क्षेत्रफल में दो से गुणा किया जाता है। यह सावधानी सीमाओं को सही रखने में भी सहायक है।
यदि वक्र $x$-अक्ष को दो बिंदुओं के बीच काटता है, तो कुल क्षेत्रफल की गणना में प्रत्येक भाग का निरपेक्ष मान लेकर जोड़ना पड़ता है। उदाहरण के लिए $y = x^3$ का $x = -1$ से $x = 1$ तक का क्षेत्रफल शून्य नहीं, बल्कि $1$ वर्ग इकाई होगा, क्योंकि दोनों भागों के क्षेत्रफल $|\int_{-1}^0 x^3 dx| + |\int_0^1 x^3 dx| = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ आदि के रूप में जोड़े जाते हैं। सीधे समाकल करने पर $[\frac{x^4}{4}]_{-1}^{1} = 0$ आता है, जो क्षेत्रफल का सही मान नहीं है। यहीं पर विद्यार्थी सबसे अधिक भूल करते हैं।
$y$-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल की गणना में वक्र को $x = g(y)$ के रूप में व्यक्त करना आवश्यक है। यदि वक्र $y = f(x)$ के रूप में दिया है, तो पहले उसे $y$ के पदों में हल करके $x$ के रूप में लिखें। इसके बाद $y$ की सीमाओं के साथ $\int_c^d g(y) dy$ ज्ञात करें। इस विधि में $dy$ की उपस्थिति याद रखना महत्वपूर्ण है, क्योंकि कई विद्यार्थी $dx$ लिखकर गलत उत्तर प्राप्त करते हैं।
दो वक्रों के बीच के क्षेत्रफल के प्रश्न में ऊपरी और निचले वक्र की पहचान के लिए अंतराल के किसी भी सुविधाजनक बिंदु पर दोनों वक्रों के $y$-मानों की तुलना करें। जिसका $y$-मान अधिक हो, वह ऊपरी वक्र है। कभी-कभी एक ही अंतराल में वक्रों की स्थिति बदल जाती है, तब क्षेत्रफल को भागों में बाँटना पड़ता है। ऐसे प्रश्नों में ग्राफ खींचना लगभग अनिवार्य होता है, क्योंकि सही आकृति के बिना सीमाएँ त्रुटिपूर्ण हो जाती हैं।
| आकृति | सूत्र |
|---|---|
| वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ | $\pi a^2$ |
| दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ | $\pi ab$ |
| परवलय $y^2 = 4ax$, रेखा $x = a$ | $\frac{8a^2}{3}$ |
| परवलय $y^2 = 4ax$ तथा $y^2 = -4ax$ के बीच | विधि द्वारा |
| स्थिति | क्षेत्रफल |
|---|---|
| $y = f(x)$, $x$-अक्ष, $x = a$, $x = b$ ($f \geq 0$) | $\int_a^b f(x) dx$ |
| $y = f(x)$, $x$-अक्ष, $x = a$, $x = b$ ($f \leq 0$) | $-\int_a^b f(x) dx$ |
| $f(x) \geq g(x)$ | $\int_a^b [f(x) - g(x)] dx$ |
| $x = g(y)$, $y$-अक्ष, $y = c$, $y = d$ | $\int_c^d g(y) dy$ |
| समाकल | मान |
|---|---|
| $\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2} dx$ | $\frac{\pi a^2}{4}$ |
| $\int_0^a x dx$ | $\frac{a^2}{2}$ |
| $\int_0^a x^2 dx$ | $\frac{a^3}{3}$ |
समाकलनों के अनुप्रयोग से हम निश्चित समाकलों का उपयोग करके ज्यामितीय क्षेत्रफलों की सटीक गणना कर सकते हैं। इस अध्याय में हमने $x$-अक्ष और $y$-अक्ष के सापेक्ष क्षेत्रफल, वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय जैसी मानक आकृतियों के क्षेत्रफल, तथा दो वक्रों के बीच के क्षेत्रफल की गणना की विधियों का अध्ययन किया। क्षेत्रफल की गणना में चित्र बनाना, उचित सीमाएँ निर्धारित करना और ऊपरी-निचले वक्र का सही क्रम महत्वपूर्ण है। यह अध्याय समाकलन के व्यावहारिक और ज्यामितीय महत्व को स्थापित करता है।