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1. परिचय

रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) गणितीय तकनीकों की वह शाखा है जिसका उपयोग दिए गए संसाधनों (जैसे श्रम, कच्चा माल, समय) की सीमाओं के अंतर्गत किसी रैखिक उद्देश्य फलन (जैसे लाभ का अधिकतम या लागत का न्यूनतम) को अनुकूलतम (optimize) करने के लिए किया जाता है। यह अध्याय व्यवसाय, उद्योग और योजना में अत्यधिक उपयोगी है। इस अध्याय में हम रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP), सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region), इष्टतम हल तथा ग्राफीय विधि से LPP को हल करना सीखेंगे।

2. रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) की संरचना

एक LPP के तीन प्रमुख अवयव होते हैं: 1. उद्देश्य फलन (Objective Function): $Z = ax + by$ जिसका अधिकतम या न्यूनतम ज्ञात करना होता है। 2. अवरोध (Constraints): रैखिक असमिकाएँ जैसे $a_1x + b_1y \leq c_1$ आदि। 3. अऋणात्मकता प्रतिबंध (Non-negativity Restrictions): $x \geq 0, y \geq 0$।

उदाहरण

$Z = 3x + 5y$ को अधिकतम करें, जहाँ $x + y \leq 4$, $x + 3y \leq 6$, $x \geq 0$, $y \geq 0$।

3. सुसंगत क्षेत्र (Feasible Region)

वे बिंदु जो सभी अवरोधों को संतुष्ट करते हैं, उनका समुच्चय सुसंगत क्षेत्र कहलाता है। - सुसंगत क्षेत्र के कोने (corner) बिंदुओं पर ही उद्देश्य फलन का इष्टतम मान प्राप्त होता है। - जिन बिंदुओं पर सभी अवरोध संतुष्ट होते हैं उन्हें सुसंगत हल (feasible solution) कहते हैं। - यदि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध (bounded) है, तो अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान विद्यमान होते हैं।

4. ग्राफीय विधि (Graphical Method) — चरण

  1. अवरोध असमिकाओं को समीकरणों में बदलकर प्रत्येक को ग्राफ पर आलेखित करें।
  2. सुसंगत क्षेत्र निर्धारित करें (असमिकाओं की दिशा के अनुसार छायांकन करें)।
  3. सुसंगत क्षेत्र के सभी कोने बिंदु (corner points) ज्ञात करें।
  4. प्रत्येक कोने बिंदु पर उद्देश्य फलन $Z$ का मान ज्ञात करें।
  5. अधिकतम या न्यूनतम Z वाला बिंदु ही इष्टतम हल है।

5. LPP के प्रमेय

मूल प्रमेय

यदि उद्देश्य फलन $Z$ का सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है, तो $Z$ का न्यूनतम और अधिकतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी कोने बिंदु पर अवश्य प्राप्त होता है।

अनुकूलतम मान

6. LPP की विभिन्न स्थितियाँ

परिबद्ध सुसंगत क्षेत्र

अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान प्राप्त होते हैं।

अपरिबद्ध सुसंगत क्षेत्र (Unbounded)

कोई सुसंगत हल नहीं

यदि अवरोध असंगत हों (कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र न हो), तो LPP का कोई हल नहीं होता।

7. व्यावहारिक अनुप्रयोग

उदाहरण

एक कारखाना $A$ और $B$ दो प्रकार की वस्तुएँ बनाता है। प्रत्येक $A$ पर ₹5 लाभ और $B$ पर ₹4 लाभ है। दिन में कुल 12 घंटे कार्य उपलब्ध हैं। $A$ के प्रति इकाई में 1 घंटा और $B$ के प्रति इकाई में 2 घंटे लगते हैं। कच्चा माल प्रति दिन अधिकतम 9 इकाई उपलब्ध है, जिसमें $A$ में 1 और $B$ में 1 इकाई लगता है। अधिकतम लाभ ज्ञात करें।

हल: माना $x$ इकाई $A$ और $y$ इकाई $B$ बनाई जाती हैं। - $Z = 5x + 4y$ (अधिकतम) - $x + 2y \leq 12$ (समय) - $x + y \leq 9$ (कच्चा माल) - $x, y \geq 0$

कोने बिंदु: (0, 0), (9, 0), (6, 3), (0, 6)। - $Z(0,0) = 0$ - $Z(9,0) = 45$ - $Z(6,3) = 30 + 12 = 42$ - $Z(0,6) = 24$

अधिकतम लाभ $Z(9, 0) = 45$ रुपये, अर्थात 9 इकाई $A$ बनाने पर।

8. हल किए गए उदाहरण (Worked Examples)

रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को ग्राफीय विधि से हल करने की प्रक्रिया निम्न उदाहरणों द्वारा स्पष्ट होती है।

उदाहरण 1: $Z = 4x + y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए, जहाँ $x + y \leq 4$, $2x + y \leq 5$, $x, y \geq 0$।

हल: अवरोधों को आलेखित करते हैं। रेखा $x + y = 4$ और $2x + y = 5$ का प्रतिच्छेद बिंदु घटाने पर $x = 1, y = 3$ प्राप्त होता है। सुसंगत क्षेत्र के कोने बिंदु $(0, 0), (0, 4), (1, 3), (2.5, 0)$ हैं। इन पर $Z$ के मान क्रमशः $0, 4, 7, 10$ हैं। अधिकतम मान $Z = 10$ बिंदु $(2.5, 0)$ पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 2: एक किसान के पास 20 हेक्टेयर भूमि है। वह दो फसलें $A$ और $B$ उगाता है। फसल $A$ पर प्रति हेक्टेयर ₹15000 लाभ और $B$ पर ₹10000 लाभ है। $A$ के लिए प्रति हेक्टेयर 20 क्विंटल उर्वरक और $B$ के लिए 10 क्विंटल उर्वरक चाहिए, कुल उर्वरक 300 क्विंटल उपलब्ध है। अधिकतम लाभ के लिए कितनी भूमि पर कौन सी फसल उगाई जाए?

हल: माना $x$ हेक्टेयर में $A$ और $y$ हेक्टेयर में $B$। अवरोध: $x + y \leq 20$, $20x + 10y \leq 300$, $x, y \geq 0$। उद्देश्य फलन $Z = 15000x + 10000y$। कोने बिंदु: $(0, 0), (15, 0), (10, 10), (0, 20)$। मान: $0, 225000, 250000, 200000$। अतः अधिकतम लाभ ₹250000 बिंदु $(10, 10)$ पर, अर्थात 10 हेक्टेयर $A$ और 10 हेक्टेयर $B$ पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 3: $Z = 3x + 2y$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जहाँ $x + 2y \geq 6$, $2x + y \geq 6$, $x, y \geq 0$।

हल: कोने बिंदु $(0, 6), (2, 2), (6, 0)$ हैं। इन पर $Z$ के मान क्रमशः $12, 10, 18$ हैं। न्यूनतम मान $Z = 10$ बिंदु $(2, 2)$ पर प्राप्त होता है। यहाँ सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, परंतु न्यूनतम मान विद्यमान है क्योंकि अपरिबद्ध क्षेत्र में भी न्यूनतम मान कोने बिंदु पर प्राप्त होता है।

उदाहरण 4: यदि सुसंगत क्षेत्र के कोने बिंदुओं $(0, 0), (4, 0), (0, 5)$ और $(2, 3)$ पर $Z = 5x + 7y$ के मान क्रमशः $0, 20, 35, 31$ प्राप्त होते हैं, तो अधिकतम मान और उसका बिंदु बताइए।

हल: सभी मानों में $35$ सबसे बड़ा है, जो बिंदु $(0, 5)$ पर प्राप्त होता है। अतः अधिकतम मान $Z = 35$ है। ध्यान दीजिए कि हर कोने बिंदु की जाँच आवश्यक थी।

उदाहरण 5: दिखाइए कि अवरोध $x \leq 2$, $y \leq 2$, $x + y \leq 3$, $x, y \geq 0$ के लिए कोने बिंदुओं की सूची में $(3, 0)$ सम्मिलित नहीं है।

हल: $x \leq 2$ के कारण $x = 3$ संभव नहीं है। अतः $(3, 0)$ अवरोधों को संतुष्ट नहीं करता और कोने बिंदु नहीं है। सही कोने बिंदु $(0, 0), (2, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 2)$ हैं। इस उदाहरण से स्पष्ट है कि प्रत्येक कोने बिंदु को सभी अवरोधों को संतुष्ट करना आवश्यक है।

त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ

तालिका 1: LPP के अवयव

अवयव विवरण
उद्देश्य फलन $Z = ax + by$
अवरोध रैखिक असमिकाएँ
अऋणात्मकता $x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र सभी अवरोधों को संतुष्ट करने वाले बिंदु

तालिका 2: सुसंगत क्षेत्र के प्रकार

स्थिति अधिकतम Z न्यूनतम Z
परिबद्ध क्षेत्र प्राप्त प्राप्त
अपरिबद्ध क्षेत्र नहीं (आम तौर पर) प्राप्त
कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं कोई हल नहीं कोई हल नहीं

तालिका 3: ग्राफीय विधि के चरण

चरण क्रिया
1 अवरोध आलेखित करें
2 सुसंगत क्षेत्र छायांकित करें
3 कोने बिंदु ज्ञात करें
4 प्रत्येक पर Z ज्ञात करें
5 इष्टतम मान चुनें

माइंड मैप

graph TD A["रैखिक प्रोग्रामन"] --> B["उद्देश्य फलन Z = ax + by"] A --> C["अवरोध"] C --> D["असमिकाएँ"] C --> E["x, y ≥ 0"] A --> F["सुसंगत क्षेत्र"] A --> G["ग्राफीय विधि"] G --> H["कोने बिंदु"] H --> I["Z के मान"] I --> J["अधिकतम/न्यूनतम"] A --> K["परिबद्ध/अपरिबद्ध"] A --> L["अनुप्रयोग: अधिकतम लाभ, न्यूनतम लागत"]

महत्वपूर्ण आरेख (SVG)

आरेख 1: सुसंगत क्षेत्र का ग्राफ

सुसंगत क्षेत्र का ग्राफ x y सुसंगत क्षेत्र कोना (0, y) इष्टतम हल कोने बिंदुओं पर होता है स्वर्ण नियम: सुसंगत क्षेत्र का छायांकन हमेशा अवरोधों की दिशा में होता है।

आरेख 2: ग्राफीय विधि का प्रवाह

ग्राफीय विधि के चरण अवरोध आलेखित करें सुसंगत क्षेत्र निर्धारित करें कोने बिंदु ज्ञात करें हर कोने पर Z ज्ञात करें इष्टतम (अधिकतम/न्यूनतम) मान चुनें Golden Rule: इष्टतम मान हमेशा सुसंगत क्षेत्र के कोने बिंदुओं पर मिलता है।

सामान्य गलतियाँ

  1. अऋणात्मकता प्रतिबंध ($x \geq 0, y \geq 0$) भूलना - यह प्रतिबंध सुसंगत क्षेत्र को पहले चतुर्थांश तक सीमित करता है।
  2. छायांकन की दिशा गलत - असमिका की दिशा ($\leq$ या $\geq$) के अनुसार ही छायांकन करें।
  3. सभी कोने बिंदु ज्ञात न करना - इष्टतम मान के लिए सभी कोने बिंदुओं की जाँच आवश्यक है।
  4. अपरिबद्ध क्षेत्र में अधिकतम मान मान लेना - अपरिबद्ध क्षेत्र में अधिकतम मान विद्यमान नहीं हो सकता।
  5. कोने बिंदुओं की गणना में रेखाओं का समीकरण हल न करना - प्रतिच्छेद बिंदु अवश्य निकालें।
  6. उद्देश्य फलन के मान की इकाई भूलना - लाभ की इकाई (जैसे रुपये) उत्तर में लिखें।
  7. अवरोधों का असंगत होना - यदि सुसंगत क्षेत्र खाली है, तो LPP का कोई हल नहीं होता।

परीक्षा युक्तियाँ

  1. ग्राफ बनाते समय रेखाओं को अवरोधों की ओर सटीक खींचें, कोने बिंदु स्पष्ट होते हैं।
  2. सभी कोने बिंदुओं की सूची बनाकर हर बिंदु पर $Z$ का मान लिखें।
  3. व्यावहारिक प्रश्न में पहले चर $x, y$ परिभाषित करें, फिर अवरोध लिखें।
  4. परिबद्ध क्षेत्र में दोनों (अधिकतम और न्यूनतम) मान कोने पर ही मिलते हैं, इसे लिखें।
  5. अपरिबद्ध क्षेत्र में न्यूनतम मान प्रश्न में सीमा की जाँच करें।
  6. उत्तर में अंतिम वाक्य लिखें, जैसे "अधिकतम लाभ ₹45 प्राप्त होगा।"

निष्कर्ष

रैखिक प्रोग्रामन दिए गए अवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन का इष्टतम मान ज्ञात करने की विधि है। इस अध्याय में हमने LPP की संरचना, सुसंगत क्षेत्र, कोने बिंदु, ग्राफीय विधि तथा परिबद्ध और अपरिबद्ध क्षेत्रों में हल की स्थितियों का अध्ययन किया। "इष्टतम मान सुसंगत क्षेत्र के किसी कोने बिंदु पर ही प्राप्त होता है" यह सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय है। यह अध्याय उद्योग और व्यवसाय में संसाधनों के सर्वोत्तम उपयोग के निर्णय लेने में सहायक है।