विषय: रेलवे NTPC – गणित (बीजगणित) अध्याय: 3.6 घातांक और करणी विषय-वस्तु: घातांक नियम, करणी
घातांक (exponent) वह संख्या है जो किसी आधार (base) के ऊपर लिखी जाती है और बताती है कि आधार को कितनी बार गुणा करना है। जैसे 2⁵ में 2 आधार और 5 घातांक है, जिसका अर्थ है 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32। करणी (surd) वह संख्या है जो वर्गमूल, घनमूल आदि के रूप में होती है और पूर्ण वर्ग नहीं होती, जैसे √2, √3, ∛5। NTPC परीक्षा में घातांक और करणी के प्रश्न बहुतायत में पूछे जाते हैं क्योंकि ये सरल होते हुए भी अच्छे अंक दिलाते हैं।
घातांकों के नियम सीधे लागू होते हैं: समान आधार की घातों का गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं, भाग करने पर घटती हैं, और किसी घात को दूसरी घात पर ले जाने पर घातें गुणा होती हैं। करणी को हल करते समय समान करणियों को जोड़ा-घटाया जाता है तथा हर का परिमेयकरण (rationalization) किया जाता है। ये दोनों अवधारणाएँ अक्सर एक साथ भी पूछी जाती हैं।
इस अध्याय में हम घातांकों के सभी नियम, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक, करणी का सरलीकरण, संयुग्मी का प्रयोग करके परिमेयकरण तथा घातांक-करणी से जुड़ी तुलनाओं का अभ्यास करेंगे। प्रत्येक अवधारणा के साथ हल किए गए उदाहरण दिए गए हैं। अंत में त्वरित पुनरावृत्ति तालिकाएँ, माइंड मैप, आरेख, सामान्य गलतियाँ और परीक्षा युक्तियाँ प्रस्तुत हैं।
घातांकों के प्रमुख नियम निम्नलिखित हैं:
उदाहरण 1: 2³ × 2⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128।
उदाहरण 2: 5⁷ ÷ 5³ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 5⁷⁻³ = 5⁴ = 625।
उदाहरण 3: (3²)³ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 3⁶ = 729।
उदाहरण 4: 2⁵ × 2⁻³ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 2⁵⁻³ = 2² = 4।
उदाहरण 5: (2/3)² का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 2²/3² = 4/9।
उदाहरण 6: 5⁰ + 6⁰ + 7⁰ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: प्रत्येक का मान 1 है, अतः योग = 1 + 1 + 1 = 3।
उदाहरण 7: 2⁻³ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 1/2³ = 1/8।
उदाहरण 8: 4^(3/2) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 4^(3/2) = (√4)³ = 2³ = 8, या √(4³) = √64 = 8।
उदाहरण 9: x² × x³ × x⁻⁴ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: x²⁺³⁻⁴ = x¹ = x।
उदाहरण 10: (10⁴ × 10³) ÷ 10⁵ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 10⁴⁺³⁻⁵ = 10² = 100।
करणी (surd) वह अपरिमेय संख्या है जो मूल चिह्न के अंदर होती है, जैसे √a, ∛a। करणियों के साथ मुख्य संक्रियाएँ निम्नलिखित हैं:
उदाहरण 11: √50 + √18 का सरल मान ज्ञात कीजिए।
हल: √50 = 5√2 और √18 = 3√2, अतः 5√2 + 3√2 = 8√2।
उदाहरण 12: √12 × √3 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: √(12 × 3) = √36 = 6।
उदाहरण 13: 1/√5 का परिमेयकरण कीजिए।
हल: 1/√5 × √5/√5 = √5/5।
उदाहरण 14: 1/(√3 + √2) का परिमेयकरण कीजिए।
हल: संयुग्मी √3 - √2 से गुणा करने पर: (√3 - √2)/(3 - 2) = √3 - √2।
उदाहरण 15: √72 को सरल कीजिए।
हल: √72 = √(36 × 2) = 6√2।
उदाहरण 16: 2√3 × 3√3 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 2 × 3 × √3 × √3 = 6 × 3 = 18।
उदाहरण 17: √27 ÷ √3 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: √(27/3) = √9 = 3।
उदाहरण 18: (√5 + √3)(√5 - √3) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: (√5)² - (√3)² = 5 - 3 = 2।
उदाहरण 19: ∛8 × ∛27 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: ∛8 = 2, ∛27 = 3, अतः 2 × 3 = 6।
उदाहरण 20: √(1/4) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: √1/√4 = 1/2।
घातांक और करणी में आपसी संबंध है: √a = a^(1/2), ∛a = a^(1/3)। इस संबंध से बड़ी संख्याओं की तुलना और सरलीकरण आसान हो जाता है। बड़े घातांकों वाली संख्याओं की तुलना में आधार को समान बनाकर घातों की तुलना की जाती है।
उदाहरण 21: √2 और ³√3 में कौन बड़ा है?
हल: दोनों को घात रूप में लिखें: 2^(1/2) = 2^(3/6) = ⁶√8 और 3^(1/3) = 3^(2/6) = ⁶√9। चूँकि 9 > 8, अतः ³√3 बड़ा है।
उदाहरण 22: 2²⁰ और 4¹⁰ में कौन बड़ा है?
हल: 4¹⁰ = (2²)¹⁰ = 2²⁰। दोनों बराबर हैं।
उदाहरण 23: (√2)⁶ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: (2^(1/2))⁶ = 2³ = 8।
उदाहरण 24: 8^(2/3) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: (∛8)² = 2² = 4।
उदाहरण 25: √x × ³√x का मान ज्ञात कीजिए।
हल: x^(1/2) × x^(1/3) = x^(1/2 + 1/3) = x^(5/6) = ⁶√(x⁵)।
उदाहरण 26: 25^(1/2) + 16^(1/2) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 5 + 4 = 9।
उदाहरण 27: 9^(3/2) × 3⁻¹ का मान ज्ञात कीजिए।
हल: 9^(3/2) = (√9)³ = 27; 27 × 1/3 = 9।
उदाहरण 28: √108 को सरल कीजिए।
हल: √108 = √(36 × 3) = 6√3।
उदाहरण 29: (√a + b)(√a - b) का मान ज्ञात कीजिए।
हल: (√a)² - b² = a - b²।
उदाहरण 30: 2√50 + √8 का सरल मान ज्ञात कीजिए।
हल: 2√50 = 10√2, √8 = 2√2; योग = 12√2।
| नियम | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणन | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2² = 2⁵ |
| भाग | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁷ ÷ 5³ = 5⁴ |
| घात का घात | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (3²)³ = 3⁶ |
| शून्य घात | a⁰ = 1 | 9⁰ = 1 |
| ऋणात्मक घात | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 2⁻³ = 1/8 |
| भिन्नात्मक घात | a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) | 8^(2/3) = 4 |
| संक्रिया | नियम | उदाहरण |
|---|---|---|
| योग-घटाव | समान करणियाँ | 2√3 + 3√3 = 5√3 |
| गुणा | √a × √b = √ab | √12 × √3 = 6 |
| भाग | √a ÷ √b = √(a/b) | √27 ÷ √3 = 3 |
| सरलीकरण | √(a²b) = a√b | √72 = 6√2 |
| परिमेयकरण | 1/√a = √a/a | 1/√5 = √5/5 |
| संयुग्मी | (a + √b)(a - √b) = a² - b | (√5+√3)(√5-√3) = 2 |
flowchart TD
A[घातांक और करणी] --> B[घातांक]
A --> C[करणी]
B --> D[गुणा-भाग में घातें जोड़ें-घटाएँ]
B --> E[शून्य और ऋणात्मक घात]
B --> F[भिन्नात्मक घात]
C --> G[समान करणियों का योग]
C --> H[सरलीकरण]
C --> I[परिमेयकरण]
E --> J[a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ]
F --> K[√a = a^(1/2)]
H --> L[√(a²b) = a√b]
I --> M[संयुग्मी से गुणा]
K --> N[आधार समान कर तुलना]
M --> O[हर से करणी हटाना]
घातांक और करणी NTPC गणित का आधारभूत विषय है जो अन्य कई अध्यायों में भी प्रयोग होता है। घातांकों के आठ नियमों और करणी की संक्रियाओं को सही रूप से लागू करने की दक्षता प्राप्त करके, परिमेयकरण की तकनीक में निपुण होकर और नियमित अभ्यास से इस अध्याय के प्रश्नों को शीघ्र एवं सटीक हल किया जा सकता है।